Координатное представление (квантовая механика)

Координа́тное представле́ние — такое представление операторов квантовой механики, в котором операторы и волновая функция $\psi$ зависят от пространственных координат. В этом представлении оператор координаты диагонален. В наиболее общем трехмерном случае квадрат модуля волновой функции $|\psi (\overrightarrow{r}){|}^2$ в координатном представлении определяет плотность вероятности обнаружить частицу в конкретной точке пространства $\overrightarrow{r}$, а сама функция имеет размерность м^-3/2 (в одномерном случае м^-1/2).

Уравнение Шрёдингера

В данном представлении уравнение Шрёдингера имеет вид:

$(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U(\overrightarrow{r}))\psi =i\hslash \frac{\partial \psi }{\partial t}$

- зависящее от времени, и

$(-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U(\overrightarrow{r}))\psi =E\psi$

- не зависящее от времени.

Здесь $\overrightarrow{r}$ — радиус-вектор точки, где берётся волновая функция $\psi (\overrightarrow{r},t)$, $E$ — полная энергия рассматриваемой частицы, $U$ — потенциальная энергия этой частицы, $m$ — масса частицы, $\mathrm{\nabla }$ — дифференциальный оператор набла, $\hslash$ — редуцированная постоянная Планка, $t$ — время, $i$ — мнимая единица.

Некоторые операторы в координатном представлении

$\overrightarrow{r}$ — координата;

$-i\hslash \mathrm{\nabla }$ — импульс;

$-\frac{{\hslash }^2}{2m}{\mathrm{\nabla }}^2+U(\overrightarrow{r})$ — гамильтониан.

Связь с другими представлениями

Чтобы перейти в импульсное представление ($p$ — импульс), нужно осуществить один из двух вариантов действий:

1) решить задачу в координатном представлении и перейти к импульсному с помощью суперпозиционного соотношения

$\psi (p)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}\int \psi (x)e^{-ipx/\hslash }dx$,

при этом переход обратно к координатному представлению можно записать как

$\psi (x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi \hslash }}\int \psi (p)e^{ipx/\hslash }dp$.

Видно, что это прямое и обратное преобразования Фурье. В трехмерном пространстве множитель при интеграле нужно заменить на $\frac{1}{\sqrt{(2\pi \hslash {)}^3}}$.

2) Сменить гамильтониан на $\hat{H}=\frac{p^2}{2m}+U\left(i\hslash \frac{\partial }{\partial p}\right)$ и решать задачу с ним.

Литература

• Тарасов Л.В. Основы квантовой механики. М.:Книжный дом "ЛИБРОКОМ", 2014.