Операторы рождения и уничтожения

Операторы рождения и операторы уничтожения — это математические операторы, которые широко применяются в квантовой механике, особенно при изучении квантовых гармонических осцилляторов и многочастичных системШаблон:Sfn. В квантовой теории поля волновые функции квантованных полей имеют операторный смысл и распадаются на операторы рождения и уничтожения частицШаблон:Sfn. Оператор уничтожения (обычно обозначаемый $\hat{a}$) уменьшает количество частиц в данном состоянии на единицу. Оператор рождения (обычно обозначаемый ${\hat{a}}^{†}$) увеличивает количество частиц в заданном состоянии на единицу, он сопряжен к оператору уничтожения. Эти операторы используются вместо волновых функций во многих областях физики и химии (вторичное квантование). Понятие операторов рождения и уничтожения было введено в науку Полем Дираком.

Операторы рождения и уничтожения могут воздействовать на состояния различных типов частиц. Например, в квантовой химии и теории многих тел операторы рождения и уничтожения часто воздействуют на электронные состояния. Они также могут конкретно относиться к лестничным операторам для квантового гармонического осциллятора. В последнем случае оператор повышения (понижения) интерпретируется как оператор рождения (уничтожения), добавляющий (удаляющий) квант энергии в (из) систему(ы) осциллятора. Они могут быть использованы для представления фононов.

Математика для операторов рождения и уничтожения бозонов такая же, как и для лестничных операторов квантового гармонического осциллятора. Например, коммутатор операторов рождения и уничтожения, связанных с одним и тем же состоянием бозона, равен единице, в то время как все остальные коммутаторы обращаются в нуль. Однако для фермионов математика иная, с использованием антикоммутаторов вместо коммутаторовШаблон:Sfn.

Определение

Пусть $H$ — одночастичное гильбертово пространство (то есть любое гильбертово пространство, рассматриваемое как представляющее состояние отдельной частицы). (Бозонной ККС алгеброй над гильбертовым пространством $H$ называется алгебра с сопряженными операторами (обозначаемыми *) абстрактно порождаемая элементами $a(f)$, где $f$ принадлежит $H$, с учётом соотношений:

$[a(f),a(g)]=[a^{†}(f),a^{†}(g)]=0$

$[a(f),a^{†}(g)]=⟨f\mid g⟩,$

в обозначениях бра и кет.

Отображение $a:f\to a(f)$ из $H$ в бозонную алгебру ККС должно быть комплексным Шаблон:Не переведено 5. Сопряженный к элементу $a(f)$ является $a^{†}(f)$, и отображение $f\to a^{†}(f)$ является Шаблон:Не переведено 5 в Шаблон:Mvar. Таким образом, $H$ используется как комплексное векторное подпространство своей собственной алгебры CCR. В представлении этой алгебры элемент $a(f)$ будет реализован как оператор уничтожения, а $a^{†}(f)$ — как оператор рождения.

В общем случае алгебра ККС является бесконечномерной. Если мы возьмем пополнение банахова пространства, оно станет C *-алгеброй. Алгебра ККС над $H$ тесно связана, но не идентична Шаблон:Не переведено 5.

Для фермионов (фермионная) КАС алгебра над $H$ строится аналогично, но вместо этого использует отношения антикоммутации, а именно

$\{a(f),a(g)\}=\{a^{†}(f),a^{†}(g)\}=0$

$\{a(f),a^{†}(g)\}=⟨f\mid g⟩.$

КАС алгебра конечномерна только в том случае, если $H$ конечномерно. Если мы возьмем пополнение банахова пространства (необходимое только в бесконечномерном случае), оно становится $C^{*}$ алгеброй. КАС алгебра тесно связана с алгеброй Клиффорда, но не идентична ей.

Физический смысл оператора $a(f)$ заключается в уничтожении частицы в состоянии $|f⟩$ тогда как $a^{†}(f)$ создает частицу в состоянии $|f⟩$.

Вакуумным состоянием свободного поля является состояние $|0⟩$ без частиц, характеризуемое как:

$a(f)|0⟩=0.$

Если $|f⟩$ отнормирован, так что $⟨f|f⟩=1$, тогда $N=a^{†}(f)a(f)$ дает число частиц в состоянии $|f⟩$.

Операторы рождения и уничтожения в квантовых теориях поля

В квантовых теориях поля и Шаблон:Не переведено 5 используются операторы рождения и уничтожения квантовых состояний, $a_i^{†}$ и $a_i^{}$. Эти операторы изменяют собственные значения Шаблон:Не переведено 5,

$N=\sum _i{n}_i=\sum _i{a}_i^{†}{a}_i^{}$,

на единицу, по аналогии с гармоническим осциллятором. Индексы (например, $i$) представляют квантовые числа, которые обозначают одночастичные состояния системы; следовательно, они не обязательно являются одиночными числами. Например, кортеж квантовых чисел $(n,l,m,s)$ используется для обозначения состояний в атоме водорода.

Коммутационные соотношения операторов создания и уничтожения в системе с несколькими бозонами являются,

$[a_i^{},a_j^{†}]\equiv a_i^{}{a}_j^{†}-a_j^{†}{a}_i^{}={\delta }_{ij},$

$[a_i^{†},a_j^{†}]=[a_i^{},a_j^{}]=0,$

где $[,]$ — коммутатор и ${\delta }_{ij}$ — cимвол Кронекера.

Для фермионов коммутатор заменяется антикоммутатором $\{,\}$,

$\{a_i^{},a_j^{†}\}\equiv a_i^{}{a}_j^{†}+a_j^{†}{a}_i^{}={\delta }_{ij},$

$\{a_i^{†},a_j^{†}\}=\{a_i^{},a_j^{}\}=0.$

Следовательно, обмен непересекающимися (то есть $i\ne j$) операторами в операторах создания или уничтожения изменит знак в системах фермионов, но не в системах бозонов.

Если состояния, обозначенные i, являются ортонормированным базисом гильбертова пространства H, то результат этой конструкции совпадает с построением алгебры CCR и алгебры CAR в предыдущем разделе. Если они представляют собственные векторы, соответствующие непрерывному спектру некоторого оператора, как для несвязанных частиц в КТП, то интерпретация более тонкая.

См. также

• Пространство Фока
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Преобразование Боголюбова
• Преобразование Гольштейна — Примакова
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Шаблон:Не переведено 5
• Каноническое коммутационное соотношение

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга