Лестничный оператор

Лестничный оператор — оператор, увеличивающий или уменьшающий собственное значение другого оператора — соответственно, повышающий оператор или понижающий оператор. Основное применение — в квантовой механике, где повышающий оператор называется оператором рождения, а понижающий — оператором уничтожения, используются для описания, в частности, квантового гармонического осциллятора и оператора углового момента.

Если два оператора $X$ и $N$ имеют коммутатор:

$[N,X]=cX$

для некоторого скаляра $c$, то оператор $X$ действует на другой оператор таким образом, что сдвигает собственное значение оператора $N$ на $c$:

$N\circ X|n⟩$	$=(XN+[N,X])|n⟩$
	$=(XN+cX)|n⟩$
	$=XN|n⟩+cX|n⟩$
	$=Xn|n⟩+cX|n⟩$
	$=(n+c)X|n⟩$.

Другими словами, если $|n⟩$ является собственным вектором оператора $N$ с собственным значением $n$, то $X|n⟩$ — собственное состояние $N$ с собственным значением $n+c$. Повышающий оператор для $N$ — оператор $X$, для которого $c$ является вещественным положительным числом, а понижающий оператор — для которого число $c$ вещественное отрицательное.

Если $N$ — эрмитов оператор, то $c$ должно быть вещественным, при этом эрмитово сопряжённый оператор от $X$ подчиняется следующему коммутационному соотношению:

$[N,X^{†}]=-c{X}^{†}$.

Также верно, что если $X$ является понижающим оператором для $N$, то $X^{†}$ — повышающий оператор $N$ (и обратное тоже верно).