Алгебра Клиффорда

Алгебра Клиффорда — специального вида ассоциативная алгебра с единицей  $Cl(E,Q(,))$ над некоторым коммутативным кольцом $K$ ($E$ — векторное пространство или, более общо, свободный $K$-модуль) с некоторой операцией [«умножения»], совпадающей с заданной на $E$ билинейной формой $Q$.

Смысл конструкции состоит в ассоциативном расширении пространства E⊕K и операции умножения на нём так, чтобы квадрат последней совпал с заданной квадратичной формой Q. Впервые рассмотрена Клиффордом. Алгебры Клиффорда обобщают комплексные числа, паракомплексные числа и дуальные числа, также бикомплексные числа, кватернионы и т.п.: их семейство исчерпывающе охватывает все ассоциативные гиперкомплексные числа.

Формальное определение

Пусть $K$  — коммутативное кольцо с единицей,  $E$ — свободный K-модуль, $Q$ — квадратичная форма на  $E$. Алгеброй Клиффорда квадратичной формы $Q$ (или пары $(E,Q)$) называется факторалгебра $Cl(E,Q)$ тензорной алгебры $T(E)$, $K$-модуля $E$ по двустороннему идеалу, порождённому элементами вида

$x\otimes x-Q(x)1,x\in E$

Элементы (векторы) из $E$, являясь тензорами ранга 1, рассматриваются также и как элементы $Cl(Q)$, причём соответственное отображение является мономорфизмом (вложением) модулей:

$E\hookrightarrow Cl(Q)$.

Комментарий

Если $K$ есть поля вещественных либо комплексных чисел, тогда $E$ — линейное пространство, а в качестве $Q(,)$ используется присущее такому пространству скалярное произведение.

Свойства

• Основное тождество алгебр Клиффорда: если характеристика кольца K не равна двум, то для любых $x,y\in E$:

  $xy+yx=2⟨x,y⟩$

где $⟨,⟩$ — симметричная билинейная форма, соответствующая квадратичной форме Q:

$⟨x,y⟩:=\frac{1}{2}(Q(x+y)-Q(x)-Q(y))$.

• выражение $[x,y]:=xy+yx$ называется антикоммутатором $x$ и $y$.

• Для нулевой квадратичной формы $Q$ алгебра $Cl(E,Q)$ совпадает со внешней алгеброй $\mathrm{\Lambda }(E)$ $K$-модуля $E$.
• Пусть $e_1,e_2,\dots ,e_n$ — некоторый базис $K$-модуля $E$, тогда элементы вида

  $1,e_{j_1}{e}_{j_2}\dots e_{j_k}(j_1<\dots <j_k,$ для всех k от 1 по n) или, иначе: $e_1^{{\sigma }_1}{e}_2^{{\sigma }_2}\dots e_n^{{\sigma }_n}$ где ${\sigma }_j=0,1$ образуют базис $K$-модуля $Cl(Q)$. В частности, $Cl(Q)$ является свободным $K$-модулем ранга (размерности) $2^n$

  • Если, кроме того, $e_1,e_2,\dots ,e_n$ ортогональны относительно $Q$, то $Cl(Q)$ можно задать как $K$-алгебру с образующими $1,e_1,e_2,\dots ,e_n$ и определяющими соотношениями $e_i{e}_j+e_j{e}_i=0$, ($i=j$) и $e_i^2=Q(e_i,e_i)$.
• Алгебра Клиффорда обладает Z₂-градуировкой. В частности, подмодуль в $Cl(Q)$, порождённый произведениями чётного числа элементов из $E$, образует подалгебру в $Cl(Q)$, которая обозначается через $C{l}^{+}(Q)$.
• Пусть $K$ — поле и квадратичная форма $Q(,)$ невырождена
  • тогда при чётном n алгебра $Cl(Q)$ является центральной простой алгеброй над $K$ размерности $2^n$, подалгебра $C{l}^{+}(Q)$ сепарабельна, а её центр имеет размерность 2 над $K$.
• Если $K$ алгебраически замкнуто, то
  • при чётном n $Cl(Q)$ — матричная алгебра, a $C{l}^{+}(Q)$ — произведение двух матричных алгебр,
  • при нечётном n, наоборот, $C{l}^{+}(Q)$ — матричная, а $Cl(Q)$ — произведение двух матричных алгебр.

Матричные представления алгебр Клиффорда

Уравнение Дирака — важный пример применения представлений $C{l}_{3,1}(ℝ)$, которые впервые изучены Этторе Майораной.

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Citation (см. Шаблон:Wayback)
• Ian R. Porteous «Clifford algebras and the classical groups» Cambridge, CUP, 1995. ISBN=978-0-521-55177-9
• R. Jagannathan (2010), «On generalized Clifford algebras and their physical applications Шаблон:Wayback»