Дуальные числа

Дуальные числа или (гипер)комплексные числа параболического типа — гиперкомплексные числа вида $a+\epsilon b$, где $a$ и $b$ — вещественные числа, а $\epsilon$ — абстрактный элемент, квадрат которого равен нулю, но сам он нулю не равен. Любое дуальное число однозначно определяется такой парой чисел $a$ и $b$. Множество всех дуальных чисел образует двумерную коммутативную ассоциативную алгебру с единицей относительно мультипликативной операции над полем вещественных чисел $ℝ$. В отличие от поля обычных комплексных чисел, эта алгебра содержит делители нуля, причём все они имеют вид $a\epsilon$. Плоскость всех дуальных чисел представляет собой «альтернативную комплексную плоскость». Аналогичным образом строятся алгебры комплексных и двойных чисел.

Замечание. Иногда дуальные числа называют двойными числами, хотя обычно под двойными числами понимается иная система гиперкомплексных чисел.

Определение

Алгебраическое определение

Дуальные числа — это пары вещественных чисел вида $(a,b)$, для которых определены операции умножения и сложения по правилам:

$(a_1,b_1)+(a_2,b_2)=(a_1+a_2,b_1+b_2)$

$(a_1,b_1)(a_2,b_2)=(a_1{a}_2,a_1{b}_2+a_2{b}_1)$

Числа вида $(a,0)$ отождествляются при этом с вещественными числами, а число $(0,1)$ обозначается $\epsilon$, после чего определяющие тождества примут вид:

${\epsilon }^2=0,(a,b)=a+b\epsilon$

$(a_1+\epsilon b_1)+(a_2+\epsilon b_2)=(a_1+a_2)+\epsilon (b_1+b_2),$

$(a_1+\epsilon b_1)(a_2+\epsilon b_2)=(a_1{a}_2)+\epsilon (a_1{b}_2+a_2{b}_1).$

Более кратко, кольцо дуальных чисел есть факторкольцо $ℝ[x]/(x^2)$ кольца вещественных многочленов по идеалу, порождённому многочленом $x^2$.

Матричное представление

Дуальные числа можно представить как матрицы из вещественных чисел, при этом сложению дуальных чисел соответствует сложение матриц, а умножению чисел — умножение матриц. Положим $\epsilon =\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right)$. Тогда произвольное дуальное число примет вид

$a+b\epsilon =\left(\begin{array}{cc}a& b\\ 0& a\end{array}\right)$.

Показательная форма

Для экспоненты с дуальным показателем верно следующее равенство:

${\mathrm{e}}^{\epsilon x}=1+\epsilon x$

Данная формула позволяет представить любое дуальное число в показательной форме и найти его логарифм по вещественному основанию. Она может быть доказана разложением экспоненты в ряд Тейлора:

${\mathrm{e}}^{\epsilon x}=1+\epsilon x+\frac{(\epsilon x{)}^2}{2!}+\frac{(\epsilon x{)}^3}{3!}+\cdots$

При этом все члены выше первого порядка равны нулю. Как следствие:

$\sinh \epsilon x=\sin \epsilon x=\epsilon x$

$\cosh \epsilon x=\cos \epsilon x=1$

Арифметические операции

• Сложение

  $(a+b\epsilon )+(c+d\epsilon )=(a+c)+(b+d)\epsilon$

• Вычитание

  $(a+b\epsilon )-(c+d\epsilon )=(a-c)+(b-d)\epsilon$

• Умножение

  $(a+b\epsilon )(c+d\epsilon )=(ac)+(bc+ad)\epsilon$

• Деление

  $\frac{a+b\epsilon }{c+d\epsilon }=\frac{a}{c}+\frac{bc-ad}{c^2}\epsilon$

Корни

Корень n-й степени из числа вида $a+\epsilon b$ определяется как

$\sqrt[n]{a}+\frac{\epsilon b}{n\sqrt[n]{a^{n-1}}}.$

Дифференцирование

Дуальные числа тесно связаны с дифференцированием функций. Рассмотрим аналитическую функцию $f(x)$, область определения которой можно естественным образом продолжить до кольца дуальных чисел. Можно легко показать, что

$f(x+y\epsilon )=f(x)+y\epsilon f^{\prime }(x).$

Таким образом, производя вычисления не над вещественными, а над дуальными числами, можно автоматически получать значение производной функции в точке. Особенно удобно рассматривать таким образом композиции функций.

Можно провести аналогию между дуальными числами и числами нестандартного анализа. Мнимая единица ε кольца дуальных чисел подобна бесконечно малому числу нестандартного анализа: любая степень (выше первой) $\epsilon$ в точности равна 0, в то время как любая степень бесконечно малого числа приблизительно равна 0 (является бесконечно малой более высокого порядка). Значит, если $\delta$ — бесконечно малое число, то с точностью до $o(\delta )$ кольцо гипердействительных чисел вида $ℝ+ℝ\delta$ изоморфно кольцу дуальных чисел.

Литература

• И. М. Яглом Комплексные числа и их применение в геометрии. М.:Физматлит, 1963. 192 с.
• V.V. Kisil (2007) Inventing the Wheel, the Parabolic One arXiv:0707.4024 Шаблон:Ref-en