Преобразование Боголюбова

В теоретической физике преобразование Боголюбова было найдено в 1958 году Николаем Боголюбовым для нахождения решений теории БКШ в однородной системе . Преобразование Боголюбова часто используется для диагонализации гамильтонианов, тем самым давая стационарные решения уравнения Шрёдингера. Преобразование Боголюбова также важно для понимания эффекта Унру, излучения Хокинга, эффектов спаривания в ядерной физике.

Случай бозонов

Рассмотрим каноническое коммутационное соотношение для операторов рождения и уничтожения бозонов

$[\hat{a},{\hat{a}}^{†}]=1.$

Определим новую пару операторов

$\hat{b}=u\hat{a}+v{\hat{a}}^{†}$

${\hat{b}}^{†}=u^{\ast }{\hat{a}}^{†}+v^{\ast }\hat{a},$

где второй эрмитово сопряжен с первым.

Преобразование Боголюбова — каноническое преобразование, сопоставляющее операторам $\hat{a}$ и ${\hat{a}}^{†}$ операторы $\hat{b}\text{ и}{\hat{b}}^{†}$. Чтобы найти условия на постоянные u и v, при которых преобразование является каноническим, вычислим коммутатор

$[\hat{b},{\hat{b}}^{†}]=[u\hat{a}+v{\hat{a}}^{†},u^{\ast }{\hat{a}}^{†}+v^{\ast }\hat{a}]=\cdots =(|u{|}^2-|v{|}^2)[\hat{a},{\hat{a}}^{†}].$

Очевидно, что $|u{|}^2-|v{|}^2=1$ — условие, при котором преобразование является каноническим. Постоянные u и v можно представить в виде

$u=e^{i{\theta }_1}\mathrm{ch}r$

$v=e^{i{\theta }_2}\mathrm{sh}r.$

Случай фермионов

Для антикоммутатора

$\{\hat{a},{\hat{a}}^{†}\}=1$,

такое же преобразование с u и v приводит к

$\{\hat{b},{\hat{b}}^{†}\}=(|u{|}^2+|v{|}^2)\{\hat{a},{\hat{a}}^{†}\}$

Чтобы преобразование было каноническим, u и v могут быть представлены в виде

$u=e^{i{\theta }_1}\cos r$

$v=e^{i{\theta }_2}\sin r.$