ККС и КАС алгебры

Шаблон:К удалению ККС-алгебры (основанные на канонических коммутационных соотношениях) и КАС-алгебры (основанные на канонических антикоммутационных соотношениях) используются в математическом аппарате квантовой механики, квантовой статистической механики и квантовой теории поля при описании статистики и наблюдаемых свойств всех элементарных частиц: бозонов и фермионов, соответственно..

ККС-алгебры и КАС-алгебры как *-алгебры

Пусть $V$ - вещественное векторное пространство, снабженное невырожденной вещественной антисимметричной билинейной формой $(\cdot ,\cdot )$ (т.е. симплектическое векторное пространство). унитальная *-алгебра, порожденная элементами $V$, в которой выполняются соотношения

$fg-gf=i(f,g)$

$f^{\ast }=f$

для любых $f,g$ в $V$ называется алгеброй канонических коммутационных соотношений (ККС-алгеброй).

Если, наоборот, $V$ снабжено невырожденной вещественной Шаблон:Не переведено 5 $(\cdot ,\cdot )$ унитальная *-алгебра, порожденная элементами $V$, в которой выполняются соотношения

$fg+gf=(f,g)$

$f^{\ast }=f$

для всех $f,g$ в $V$ называется алгеброй канонических антикоммутационных соотношений (КАС-алгеброй).

ККС C*-алгебра

Существует отдельное, но тесно связанная с основной разновидность ККС-алгебры, называемая ККС C*-алгеброй. Пусть $H$ - вещественное симплектическое векторное пространство с неособой симплектической формой $(\cdot ,\cdot )$. В теории операторных алгебр алгебра ККС над $H$ является унитальной C*-алгеброй, порожденной элементами $\{W(f):f\in H\}$ обладающими свойствами

$W(f)W(g)=e^{-i(f,g)}W(f+g)$

$W(f{)}^{\ast }=W(-f)$

Они называются формой Вейля канонических коммутационных соотношений и, в частности, подразумевают, что каждый элемент $W(f)$ является унитарным и $W(0)=1$. Хорошо известно, что ККС-алгебра является простой несепарабельной алгеброй и уникальна с точностью до изоморфизма.

Когда $H$ является гильбертовым пространством, а $(\cdot ,\cdot )$ задается мнимой частью внутреннего произведения, ККС-алгебра достоверно представляется на симметричном пространстве Фока поверх $H$, при помощи соотношения:

$W(f)(1,g,\frac{g^{\otimes 2}}{2!},\frac{g^{\otimes 3}}{3!},\dots )=e^{-\frac{1}{2}||f|{|}^2-⟨f,g⟩}(1,f+g,\frac{(f+g{)}^{\otimes 2}}{2!},\frac{(f+g{)}^{\otimes 3}}{3!},\dots )$

для любых $f,g\in H$. Операторы поля $B(f)$ определяются для каждого $f\in H$ как генераторы однопараметрической унитарной группы $(W(tf){)}_{t\in ℝ}$ на симметричном пространстве Фока. Они являются самосопряженными неограниченными операторами, однако они формально удовлетворяют соотношению

$B(f)B(g)-B(g)B(f)=2i\mathrm{I}\mathrm{m}⟨f,g⟩$

Поскольку отношение $f\mapsto B(f)$ является вещественнолинейным, поэтому операторы $B(f)$ определяют ККС-алгебру над $(H,2\mathrm{I}\mathrm{m}⟨\cdot ,\cdot ⟩)$ в смысле раздел 1.

КАС C*-алгебра

Пусть $H$ - гильбертово пространство. В теории операторных алгебр КАС-алгебра - это уникальное C*-пополнение комплексной унитальной *-алгебры, порожденной элементами $\{b(f),b^{\ast }(f):f\in H\}$ с учетом отношений

$b(f)b^{\ast }(g)+b^{\ast }(g)b(f)=⟨f,g⟩,$

$b(f)b(g)+b(g)b(f)=0,$

$\lambda b^{\ast }(f)=b^{\ast }(\lambda f),$

$b(f{)}^{\ast }=b^{\ast }(f),$

для всех $f,g\in H$, $\lambda \in ℂ$. Когда $H$ отделима, КАС-алгебра представляет собой Шаблон:Не переведено 5 и, в частном случае бесконечномерного $H$, ее часто записывают как $M_{2^{\mathrm{\infty }}}(ℂ)$.

Пусть $F_a(H)$ будет антисимметричным пространством Фока над $H$ и пусть $P_a$ будет ортогональной проекцией на антисимметричные векторы:

$P_a:\underset{n=0}{\overset{\mathrm{\infty }}{⨁}}{H}^{\otimes n}\to F_a(H).$

КАС-алгебра точно представляется в $F_a(H)$, при помощи соотношения

$b^{\ast }(f)P_a(g_1\otimes g_2\otimes \cdots \otimes g_n)=P_a(f\otimes g_1\otimes g_2\otimes \cdots \otimes g_n)$

для всех $f,g_1,\dots ,g_n\in H$ и $n\in \mathbb{N}$. Тот факт, что они образуют C *-алгебру, объясняется тем фактом, что операторы рождения и уничтожения в антисимметричном пространстве Фока являются ограниченным операторами. Более того, операторы поля $B(f):=b^{\ast }(f)+b(f)$ удовлетворяют соотношению

$B(f)B(g)+B(g)B(f)=2\mathrm{R}\mathrm{e}⟨f,g⟩,$

дающему связь с глава 1.

См. также

• Статистика Бозе — Эйнштейна
• Статистика Ферми — Дирака
• Шаблон:Не переведено 5
• Группа Гейзенберга
• Преобразование Боголюбова
• (−1)^F