Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве

Шаблон:Другие значения Теорема Стоуна о группах унитарных операторов в гильбертовом пространстве — важный результат функционального анализа, утверждающий, что всякая сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов представляется в виде:

$U_t=e^{it\hat{H}}t\in ℝ$,

где $\hat{H}$ — некоторый самосопряженный оператор, а $t$ — параметр. Верно и обратное: всякому самосопряженному оператору $\hat{H}$ с помощью представления Стоуна можно поставить в соответствие сильно непрерывную однопараметрическую группу унитарных операторов.

Теорема была доказана американским математиком Маршаллом Стоуном в 1930 году и имела большое значение для становления квантовой механики, а также послужила толчком к созданию теории Купмана — фон Неймана.

Сильно непрерывная однопараметрическая группа унитарных операторов обладает следующими свойствами:

$\underset{t\to t_0}{\lim }{U}_t\xi =U_{t_0}\xi \mathrm{\forall }{t}_0\in ℝ,\xi \in H$

$U_{t+s}=U_t{U}_s$.

Важность результата для физики заключается в том, что он гарантирует существование и единственность решений уравнений Шрёдингера и Лиувилля, а также сохранение нормировок волновых функций.

Ссылки

• Шаблон:Citation
• Шаблон:Citation
• K. Yosida, Functional Analysis, Springer-Verlag, (1968).