Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

Шаблон:Значения Теоре́ма Лиуви́лля, названная по имени французского математика Жозефа Лиувилля, является ключевой теоремой в математической физике, статистической физике и гамильтоновой механике. Теорема утверждает сохранение во времени фазового объёма, или плотности вероятности в фазовом пространстве.

Формулировка

Функция распределения гамильтоновой системы постоянна вдоль любой траектории в фазовом пространстве.

Уравнение Лиувилля

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию во времени функции распределения (плотности вероятности) гамильтоновой системы в $6N$-мерном фазовом пространстве ($N$ — количество частиц в системе). Рассмотрим гамильтонову систему с координатами $q_i$ и сопряжёнными импульсами $p_i$, где $i=1,\dots ,d,d=3N$. Тогда распределение в фазовом пространстве $\rho (p_i,q_i)$ определяет вероятность $\rho (p,q){\mathrm{d}}^{d}q{\mathrm{d}}^{d}p$ того, что система будет находиться в элементе объёма ${\mathrm{d}}^{d}q{\mathrm{d}}^{d}p$ своего фазового пространства.

Уравнение Лиувилля описывает эволюцию $\rho (p_i,q_i;t)$ во времени $t$ согласно правилу нахождения полной производной функции с учётом несжимаемости потока в фазовом пространстве:

$\frac{\mathrm{d}\rho }{\mathrm{d}t}=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^d(\frac{\partial \rho }{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}{q}_i}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial \rho }{\partial p_i}\frac{\mathrm{d}{p}_i}{\mathrm{d}t})=0.$

Производные фазовых координат по времени для гамильтоновых систем описываются согласно уравнениям Гамильтона:

${\dot{q}}_i\equiv \frac{\mathrm{d}{q}_i}{\mathrm{d}t}=\frac{\partial H}{\partial p_i},$

${\dot{p}}_i\equiv \frac{\mathrm{d}{p}_i}{\mathrm{d}t}=-\frac{\partial H}{\partial q_i}.$

Простое доказательство теоремы состоит в наблюдении, что эволюция $\rho$ определяется уравнением неразрывности (непрерывности):

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\mathrm{\nabla }(\rho 𝐯)=\frac{\partial \rho }{\partial t}+\rho \mathrm{div}𝐯+𝐯\mathrm{grad}\rho =0,$

где $𝐯$ — скорость перемещения исследуемого объёма фазового пространства:

$\mathrm{\nabla }(\rho 𝐯)=\sum _{i=1}^d(\frac{\partial (\rho {\dot{q}}_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial (\rho {\dot{p}}_i)}{\partial p_i})$

и замечанием, что разность между этим выражением и уравнением Лиувилля определяется только слагаемым, описывающим дивергенцию, а именно её отсутствие, что означает отсутствие источников или стоков плотности вероятности:

$\rho \mathrm{div}𝐯=\rho \sum _{i=1}^d(\frac{\partial {\dot{q}}_i}{\partial q_i}+\frac{\partial {\dot{p}}_i}{\partial p_i})=\rho \sum _{i=1}^d(\frac{{\partial }^{2}H}{\partial q_i\partial p_i}-\frac{{\partial }^{2}H}{\partial p_i\partial q_i})=0,$

где $H$ — гамильтониан, и были использованы уравнения Гамильтона. Это можно представить как движение через фазовое пространство «потока жидкости» точек системы. Теорема означает, что производная Лагранжа или субстанциональная производная плотности $d\rho /dt$ равна нулю. Это следует из уравнения непрерывности, так как поле скоростей $(\dot{p},\dot{q})$ в фазовом пространстве бездивергентно, что в свою очередь вытекает из гамильтоновых уравнений для консервативных систем.

Геометрическая интерпретация

Рассмотрим траекторию малого пятна (множества точек) в фазовом пространстве. Перемещаясь вдоль множества траекторий, пятно растягивается в одной координате, скажем — $p_i$ — но сжимается по другой координате $q_i$ так, что произведение $\mathrm{\Delta }{p}_i\mathrm{\Delta }{q}_i$ остаётся константой. Площадь пятна (фазовый объём) не изменяется.

Более точно, фазовый объём $\mathrm{\Gamma }$ сохраняется при сдвигах времени. Если

$\underset{\mathrm{\Gamma }}{\int }{d}^{d}q{d}^{d}p=C,$

и $\mathrm{\Gamma }(t)$ — множество точек фазового пространства, в которое может эволюционировать множество $\mathrm{\Gamma }$ в момент времени $t$, тогда

$\underset{\mathrm{\Gamma }(t)}{\int }{d}^{d}q{d}^{d}p=C$

для всех времён $t$. Объём фазового пространства гамильтоновой системы сохраняется, поскольку эволюция во времени в гамильтоновой механике — это каноническое преобразование, а все канонические преобразования имеют единичный якобиан.

Через симплектическую форму

Пусть $(M,\omega )$ — симплектическое многообразие и $H:M\to ℝ$ — гладкая функция. Пусть $V$ есть симплектический градиент $H$, то есть векторное поле удовлетворяющее соотношению

$dH(X)=\omega (V,X)$

для любого векторного поля $X$. Тогда

${ℒ}_V\omega =0,$

где $ℒ$ обозначает производную Ли.

Из этого утверждения следует теорема Лиувилля. Действительно, из выше приведённого тождества следует, что

${ℒ}_V{\omega }^{\wedge n}=0,$

а если $M$ — $2n$-мерно, то ${\omega }^{\wedge n}$ является формой объёма на $M$.

Физическая интерпретация

Ожидаемое полное число частиц — интеграл по всему фазовому пространству от функции распределения:

$N=\int d^{d}q{d}^{d}p\rho (p,q)$

(нормировочный множитель опущен). В простейшем случае, когда частица движется в евклидовом пространстве в поле потенциальных сил $𝐅$ с координатами $𝐱$ и импульсами $𝐩$, теорему Лиувилля можно записать в виде

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+𝐯\cdot {\mathrm{\nabla }}_{𝐱}\rho +\frac{𝐅}{m}\cdot {\mathrm{\nabla }}_{𝐩}\rho =0,$

где $𝐯=\dot{𝐱}$ — скорость. В физике плазмы это выражение называется уравнением Власова или бесстолкновительным уравнением Больцмана и используется, чтобы описать большое число бесстолкновительных частиц, двигающихся в самосогласованном поле сил $𝐅$.

В классической статистической механике число частиц $N$ велико, порядка числа Авогадро. В стационарном случае $\partial \rho /\partial t=0$ можно найти плотность микросостояний, доступных в данном статистическом ансамбле. Для стационарных состояний функции распределения $\rho$ равна любой функции гамильтониана $H$, например, в распределении Максвелла-Больцмана $\rho \sim e^{-H/kT}$, где $T$ — температура, $k$ — постоянная Больцмана.

Запись через скобку Пуассона

Используя скобку Пуассона, имеющее в канонических координатах $(q^i,p_j)$ вид

$\{A,B\}=\sum _{i=1}^N(-\frac{\partial A}{\partial q^i}\frac{\partial B}{\partial p_i}+\frac{\partial A}{\partial p_i}\frac{\partial B}{\partial q^i}),$

уравнение Лиувилля (другое название: уравнение Лиувилля — фон Неймана) для гамильтоновых систем приобретает вид

$\frac{\partial \rho }{\partial t}=-\{\rho ,H\}.$

Запись с использованием оператора Лиувилля

При помощи оператора Лиувилля

$i\hat{L}=\sum _{i=1}^d[\frac{\partial H}{\partial p_i}\frac{\partial }{\partial q_i}-\frac{\partial H}{\partial q_i}\frac{\partial }{\partial p_i}]$

уравнение для гамильтоновых систем приобретает вид

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+i\hat{L}\rho =0.$

Замечания

• Каноническое квантование даёт квантовомеханическую версию теоремы.

Эта процедура, часто используемая, чтобы получить квантовые аналоги классических систем, вовлекает описание классической системы, используя гамильтонову механику. Классическим переменным тогда дают иное толкование, а именно, как квантовые операторы, в то время как скобки Пуассона заменены коммутаторами. В этом случае получается уравнение

$\frac{\partial }{\partial t}\rho =\frac{1}{i\hslash }[H,\rho ],$

где ρ матрица плотности. Это уравнение называется уравнением фон Неймана и описывает эволюцию квантовых состояний гамильтоновых систем.

• Уравнение Лиувилля верно для равновесных и неравновесных систем. Это фундаментальное уравнение неравновесной статистической механики.

• Предположение о несжимаемости фазового потока, то есть выполнение условия

$\sum _{i=1}^d(\frac{\partial }{\partial q_i}\frac{\mathrm{d}{q}_i}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial }{\partial p_i}\frac{\mathrm{d}{p}_i}{\mathrm{d}t})=0,$ 

является существенным. В общем случае произвольной динамической системы

${\dot{q}}_i=Q_i(𝐩,𝐪,t),{\dot{p}}_i=P_i(𝐩,𝐪,t)$ 

уравнение для эволюции во времени плотности $\rho (𝐩,𝐪,t)$ распределения частиц в фазовом пространстве получается из уравнения баланса

$\rho ({𝐩}^{\prime },{𝐪}^{\prime },t^{\prime })d{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }=\rho (𝐩,𝐪,t)d\mathrm{\Lambda },$ 

$t^{\prime }=t+dt,{p_i}^{\prime }=p_i+P_{i}dt,{q_i}^{\prime }=q_i+Q_{i}dt,d{\mathrm{\Lambda }}^{\prime }=d\mathrm{\Lambda }[1+dt\sum _{i=1}^d(\frac{\partial Q_i}{\partial q_i}+\frac{\partial P_i}{\partial p_i})]$ 

(последнее соотношение — это масштабирование элемента фазового объёма при бесконечно малом перемещении вдоль фазовой траектории). Итоговое уравнение имеет вид

$\frac{\partial \rho }{\partial t}+\sum _{i=1}^d(\frac{\partial (\rho Q_i)}{\partial q_i}+\frac{\partial (\rho P_i)}{\partial p_i})=0$

(см. также Уравнение Фоккера — Планка) и в случае  $Q_i=\partial H/\partial p_i,P_i=-\partial H/\partial q_i$ совпадает с уравнением Лиувилля.

См. также

• Интеграл Пуанкаре — Картана