Уравнение Фоккера — Планка

Эволюция функции плотности вероятности согласно уравнению Фоккера — Планка.

Уравнение Фоккера — Планка - Колмогорова — одно из дифференциальных уравнений в частных производных, описывает временну́ю эволюцию функции плотности вероятности координат и импульса частиц в процессах, где важна стохастическая природа явления. Названо в честь нидерландского и немецкого физиков Адриана Фоккера и Макса Планка, также известно как прямое уравнение Колмогорова. Может быть обобщено на другие измеримые параметры: размер (в теории коалесценции), масса и т. д.

Определение

Впервые уравнение было использовано для статистического описания броуновского движения частиц в воде. Хотя броуновское движение описывается уравнениями Ланжевена, которые могут быть решены численно методом Монте-Карло или методами молекулярной динамики, задачу в такой постановке часто трудно решить аналитически. И, вместо сложных численных схем, можно ввести функцию плотности вероятности $W(𝐯,t)$, описывающую вероятность того, что частица имеет скорость в интервале $(𝐯,𝐯+d𝐯)$, если в момент времени 0 она имела начальную скорость ${𝐯}_0$, и записать для $W(𝐯,t)$ уравнения Фоккера — Планка.

Общая форма уравнения Фоккера — Планка для $N$ переменных:

$\frac{\partial W}{\partial t}=[-\sum _{i=1}^N\frac{\partial }{\partial x_i}{D}_i^1(x_1,\dots ,x_N)+\sum _{i=1}^N\sum _{j=1}^N\frac{{\partial }^2}{\partial x_i\partial x_j}{D}_{ij}^2(x_1,\dots ,x_N)]W,$

где $D^1$ — вектор сноса и $D^2$ — тензор диффузии, причём диффузия вызвана действием сил стохастической природы.

Связь со стохастическими дифференциальными уравнениями

Уравнение Фоккера — Планка может быть использовано для расчёта плотности вероятности в стохастических дифференциальных уравнениях. Рассмотрим следующее стохастическое дифференциальное уравнение

$d{𝐗}_t=\mathit{\mu }({𝐗}_t,t)dt+\mathit{\sigma }({𝐗}_t,t)d{𝐁}_t,$

где ${𝐗}_t\in {ℝ}^N$ — функция состояния системы, а ${𝐁}_t\in {ℝ}^M$ — стандартное $N$-мерное броуновское движение. Если начальное распределение задано как ${𝐗}_0\sim W(𝐱,0)$, то плотность вероятности $W(𝐱,t)$ состояния системы ${𝐗}_t$ является решением уравнения Фоккера — Планка со следующими выражениями для сноса и диффузии соответственно:

$D_i^1(𝐱,t)={\mu }_i(𝐱,t),$

$D_{ij}^2(𝐱,t)=\frac{1}{2}\sum _k{\sigma }_{ik}(𝐱,t){\sigma }_{jk}(𝐱,t).$

Пример

Стандартное скалярное уравнение броуновского движения генерируется следующим стохастическим дифференциальным уравнением:

$\mathrm{d}{X}_t=\mathrm{d}{B}_t.$

Здесь скорость сноса равна нулю и коэффициент диффузии равен 1/2, следовательно, соответствующее уравнение Фоккера — Планка выглядит так:

$\frac{\partial W(x,t)}{\partial t}=\frac{1}{2}\frac{{\partial }^{2}W(x,t)}{\partial x^2},$

это простейшая форма одномерного уравнения диффузии (теплопереноса).

Уравнение Фоккера — Планка в одномерном случае

В одномерном случае УФП приобретает вид:

$\frac{\partial f}{\partial t}=-\frac{\partial }{\partial x}(A(x,t)f(x,t))+\frac{\partial }{\partial x}(\frac{B(x,t)}{2}\frac{\partial }{\partial x}f(x,t)).$

УФП справедливо для условной плотности вероятности:

$f(x,t)=p(x,t|x_0,t_0),$ (то есть значение функции $f(x,t)$ вероятностно попадает в плоскость, образованную пространственной осью $x$ и временно́й осью $t$, в интервалы $x-x_0$ и $t-t_0$ соответственно) при любом начальном значении $x_0$ и $t_0$ и начальном условии $p(x,t_0|x_0,t_0)=\delta (x-x_0)$, где $\delta (x-x_0)$ — функция Дирака.

Это условие гласит, что в один и тот же момент времени $t_0$ функция претерпевает скачок. Если пространственные координаты равны, то функция устремляется в бесконечность. Поэтому, в силу ограниченности функции, необходимо использовать определение единовременной плотности вероятности $p(x,t)=\int p(x,t;x_0,t_0)d{x}_0=\int p(x,t|x_0,t_0)p(x_0,t_0)d{x}_0.$ Тогда, УФП справедливо для вероятности $p(x,t)$ с начальным условием $p(x,t){|}_{t=t_0}=p(x,t_0)$, которое менее сингулярно, чем $p(x,t_0|x_0,t_0)=\delta (x-x_0)$. Стохастический процесс, описываемый условной вероятностью, удовлетворяющий УФП, эквивалентен СДУ Ито

$dx(t)=A(x(t),t)dt+\sqrt{B(x(t),t)}dW(t)$

и что эти два описания должны рассматриваться как взаимно дополняющие друг друга.

Вывод

Первый согласованный вывод уравнения Фоккера — Планка на основе точной микроскопической динамики для классических и квантовых систем выполнен Н. Н. Боголюбовым и Н. М. Крыловым (переиздано в).

См. также

• Цепочка уравнений Боголюбова
• Уравнение Лиувилля
• Уравнение Больцмана
• Уравнение Власова
• Уравнение Колмогорова — Чепмена
• Уравнения Навье — Стокса
• Формула Фейнмана — Каца

Литература

• Risken H. The Fokker — Planck Equation: Methods of Solutions and Applications. — 2nd ed. — Springer, 1984. — 452 p. — ISBN 3-540-61530-X.
• Шаблон:Книга:Лифшиц Е.М., Питаевский Л.П.: Физическая кинетика