Уравнение Ланжевена

Шаблон:Физическая теория Уравнение Ланжевена — стохастическое дифференциальное уравнение, описывающее броуновское движение.

Первое уравнение, изученное Ланжевеном, описывало броуновское движение с постоянным потенциалом, то есть ускорение $𝐚$ броуновской частицы массы $m$ выражается через сумму силы вязкого трения, которая пропорциональна скорости частицы $𝐯$ (закон Стокса), шумового члена $\mathit{\eta }(t)$ (название, которое используется в физике для обозначения стохастического процесса в дифференциальном уравнении) — за счёт непрерывных соударений частицы с молекулами жидкости, и $\mathrm{\Phi }(𝐱)$ — систематической силы, возникающей при внутримолекулярных и межмолекулярных взаимодействиях:

$m𝐚=m\frac{d^2𝐱}{d{t}^2}=\mathrm{\Phi }(𝐱)-\gamma 𝐯+\mathit{\eta }(t).$

Решение уравнения

Перепишем уравнение Ланжевена без внешних сил. Кроме того, без потери общности можно рассматривать только одну из координат.

$m\ddot{x}=-\frac{1}{B}\dot{x}+F(t)$

Будем полагать, что случайная сила удовлетворяет следующим условиям:

$⟨F(t)⟩=0$

$⟨F(t_1)F(t_2)⟩=b\delta (t_1-t_2)$

где b — некоторая константа, которую мы определим позже, $\delta (t_1-t_2)$ — дельта-функция Дирака. Угловыми скобками обозначено усреднение по времени. Это т. н. дельта-коррелированая случайная величина: её автокорреляционная функция равна дельта-функции. Такой случайный процесс также называется белым шумом.

Перепишем уравнение в терминах скорости:

$\dot{v}=-\lambda v+\frac{F}{m}$, где $\lambda =\frac{1}{mB}$

Пусть в начальный момент времени $t=t_0$ частица имела скорость $v_0$. Будем искать решение в виде: $v(t)=u(t)\exp (-\lambda t)$, тогда для $u(t)$ получим следующее дифференциальное уравнение:

$\dot{u}(t)=\exp (\lambda t)\frac{F}{m}$

В итоге, получаем искомое выражение для скорости:

$v(t)=v_0\exp (-\lambda t)+\exp (-\lambda t)\underset{0}{\overset{t}{\int }}\frac{F(\tau )}{m}\exp (\lambda \tau )d\tau$

Из него следуют два важных соотношения:

1. $⟨v(t)⟩=v_0\exp (-\lambda t)$. То есть среднее значение скорости стремится к нулю с течением времени.
2. $⟨v^2(t)⟩=v_0^2\exp (-2\lambda t)+\frac{b}{2\lambda m^2}(1-\exp (-2\lambda t))$. Средний квадрат скорости со временем стремится к значению $\frac{b}{2\lambda m^2}$. Если предположить, что кинетическая энергия частицы со временем стремится к тепловой, то можно определить значение коэффициента $b$:

$b=2\frac{k_{B}T}{B}$

Преобразованием исходного выражения можно получить, что:

$\frac{d⟨x^2(t)⟩}{dt}=\frac{2}{\lambda }⟨{\left(\frac{dx}{dt}\right)}^2⟩$

$⟨{𝐱}^2⟩=6k_{B}TBt$

Откуда следует соотношение Эйнштейна:

$D=k_{B}TB$

где B — подвижность броуновской частицы.

Ссылки

• W. T. Coffey, Yu. P. Kalmykov, J. T. Waldron, The Langevin Equation, With Applications to Stochastic Problems in Physics, Chemistry and Electrical Engineering (Second Edition), World Scientific Series in Contemporary Chemical Physics — Vol 14. (The First Edition is Vol 10)
• Reif, F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New York, 1965. See section 15.5 Langevin Equation