Кинетическая энергия

Кинети́ческая эне́ргия — скалярная физическая величина, являющаяся мерой движения материальных точек, образующих рассматриваемую механическую систему, и зависящая только от масс и модулей скоростей этих точекШаблон:Sfn. Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии. Для движения со скоростями значительно меньше скорости света кинетическая энергия записывается как

$E_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}=\sum \frac{m_i{v}_i^2}{2},$

где индекс $i$ нумерует материальные точки. Часто выделяют кинетическую энергию поступательного и вращательного движения. Более строго, кинетическая энергия есть разность между полной энергией системы и её энергией покоя; таким образом, кинетическая энергия — часть полной энергии, обусловленная движением. Когда тело не движется, его кинетическая энергия равна нулю. Возможные обозначения кинетической энергии: $T$, $E_{\mathrm{k}\mathrm{i}\mathrm{n}}$, $K$ и другие. В системе СИ она измеряется в джоулях (Дж), в СГС — в эргах.

Упрощённо, кинетическая энергия — это работа, которую необходимо совершить, чтобы тело массой $m$ разогнать из состояния покоя до скорости $v$. Либо, наоборот, это работа, которую может совершить, останавливаясь, тело массой $m$, обладающее начальной скоростью $v$.

История и этимология понятия

Прилагательное «кинетический» происходит от греческого слова κίνησις (kinesis, «движение»). Дихотомия между кинетической энергией и потенциальной энергией восходит к аристотелевским концепциям Шаблон:Iw .

Лейбниц в своих трактатах 1686 и 1695 годов ввёл понятие «живой силы» (Шаблон:Lang-la), которую он определил как произведение массы объекта и квадрата его скорости (в современной терминологии — кинетическая энергия, только удвоенная).

Вильгельм Гравезанд из Нидерландов предоставил экспериментальные доказательства важности величины Шаблон:Math. Cбрасывая грузы с разной высоты на глиняный блок, он определил, что глубина их проникновения пропорциональна квадрату скорости удара. Эмили дю Шатле осознала значение данного эксперимента и опубликовала объяснение в книге «Учебник физики» (Шаблон:Lang-fr, 1740).

Иоганн Бернулли использовал понятие "живой силы" для расчётов (в частности, движения идеальной жидкости). В 1741 году у него впервые появилось выражение Шаблон:Math.

Томас Юнг в лекциях, опубликованных в 1807 году, предложил вместо термина «живая сила» использовать слово «энергия», хотя первое время после Юнга многие учёные продолжали пользоваться термином "живая сила".

В 1829 году Гаспар-Гюстав Кориолис опубликовал статью Du Calcul de l’Effet des Machines, в которой излагалась математика того, что по сути является связью между работой и кинетической энергией. Исходя из той связи, что существует между механической работой и величиной $\frac{1}{2}m{v}^2$, Кориолис предложил называть живой силой именно эту величину. Комментируя такой подход, Кориолис писал: «Если ранее наименование живая сила давалось произведению массы на квадрат скорости, то это было потому, что не уделялось внимания работе».

Создание и введение в оборот самого термина «кинетическая энергия» приписывают Уильяму Томсону (лорду Кельвину) c 1849—1851 гг.. Ренкин, который ввёл термин «потенциальная энергия» в 1853 году, позже цитировал У. Томсона и П. Тэйта с заменой слова «кинетическая» на «фактическая».

Кинетическая энергия в классической механике

Случай одной материальной точки

По определению, кинетической энергией материальной точки массой $m$ называется величина

$T=\frac{m{v}^2}{2}$,

при этом предполагается, что скорость точки $v$ всегда значительно меньше скорости света. С использованием понятия импульса ($\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$) данное выражение примет вид $T=p^2/2m$.

Если $\overrightarrow{F}$ — равнодействующая всех сил, приложенных к точке, выражение второго закона Ньютона запишется как $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$. Скалярно умножив его на перемещение материальной точки $\mathrm{d}\overrightarrow{s}=\overrightarrow{v}\mathrm{d}t$ и учитывая, что $\overrightarrow{a}=\mathrm{d}\overrightarrow{v}/\mathrm{d}t$, причём $\mathrm{d}(v^2)/\mathrm{d}t=\mathrm{d}(\overrightarrow{v}\cdot \overrightarrow{v})/\mathrm{d}t=2\overrightarrow{v}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{v}/\mathrm{d}t$, получим $\overrightarrow{F}\mathrm{d}\overrightarrow{s}=\mathrm{d}(m{v}^2/2)=\mathrm{d}T$.

Если система замкнута (внешние силы отсутствуют) или равнодействующая всех сил равна нулю, то стоящая под дифференциалом величина $T$ остаётся постоянной, то есть кинетическая энергия является интегралом движения.

Случай абсолютно твёрдого тела

При рассмотрении движения абсолютно твёрдого тела его можно представить как совокупность материальных точек. Однако, обычно кинетическую энергию в таком случае записывают, используя формулу Кёнига, в виде суммы кинетических энергий поступательного движения объекта как целого и вращательного движения:

$T=\frac{M{v}^2}{2}+\frac{I{\omega }^2}{2}.$

Здесь $M$ — масса тела, $v$ — скорость центра масс, $\overrightarrow{\omega }$ и $I$ — угловая скорость тела и его момент инерции относительно мгновенной оси, проходящей через центр масс.

Кинетическая энергия в гидродинамике

В гидродинамике вместо массы материальной точки рассматривают массу единицы объёма, то есть плотность жидкости или газа $\rho =\mathrm{d}M/\mathrm{d}V$. Тогда кинетическая энергия, приходящаяся на единицу объёма, двигающегося со скоростью $\overrightarrow{v}$, то есть плотность кинетической энергии $w_T=\mathrm{d}T/\mathrm{d}V$ (Дж/м³), запишется:

$w_T=\rho \frac{v_{\alpha }{v}_{\alpha }}{2},$

где по повторяющемуся индексу $\alpha =x,y,z$, означающему соответствующую проекцию скорости, предполагается суммирование.

Поскольку в турбулентном потоке жидкости или газа характеристики состояния вещества (в том числе, плотность и скорость) подвержены хаотическим пульсациям, физический интерес представляют осреднённые величины. Влияние гидродинамических флуктуаций на динамику потока учитывается методами статистической гидромеханики, в которой уравнения движения, описывающие поведение средних характеристик потока, в соответствии с методом О. Рейнольдса, получаются путём осреднения уравнений Навье-Стокса. Если, в согласии с методом Рейнольдса, представить $\rho =\bar{\rho }+{\rho }^{\prime }$, $v_{\alpha }=\overline{v_{\alpha }}+v{\text{'}}_{\alpha }$, где черта сверху — знак осреднения, а штрих — отклонения от среднего, то плотность кинетической энергии приобретёт вид:

$\overline{w_T}=\frac{1}{2}\overline{\rho v_{\alpha }{v}_{\alpha }}=E_s+E_{st}+E_t,$

где $E_s=\bar{\rho }\overline{v_{\alpha }}\overline{v_{\alpha }}/2$ — плотность кинетической энергии, связанной с упорядоченным движением жидкости или газа, $E_t=\bar{\rho }\overline{v{\text{'}}_{\alpha }v{\text{'}}_{\alpha }}/2+\overline{{\rho }^{\prime }v{\text{'}}_{\alpha }v{\text{'}}_{\alpha }}/2$ — плотность кинетической энергии, связанной с неупорядоченным движением («плотность кинетической энергии турбулентности», часто называемой просто «энергией турбулентности»), а $E_{st}=S_{\alpha }\overline{v_{\alpha }}$ — плотность кинетической энергии, связанная с турбулентным потоком вещества ($S_{\alpha }=\overline{{\rho }^{\prime }v{\text{'}}_{\alpha }}$ — плотность флуктуационного потока массы, или «плотность турбулентного импульса»). Эти формы кинетической энергии жидкости обладают разными трансформационными свойствами при преобразовании Галилея: кинетическая энергия упорядоченного движения $E_s$ зависит от выбора системы координат, в то время как кинетическая энергия турбулентности $E_t$ от него не зависит. В этом смысле кинетическая энергия турбулентности дополняет понятие внутренней энергии.

Подразделение кинетической энергии на упорядоченную и неупорядоченную (флуктуационную) части зависит от выбора масштаба осреднения по объёму или по времени. Так, например, крупные атмосферные вихри циклоны и антициклоны, порождающие определённую погоду в месте наблюдения, рассматриваются в метеорологии как упорядоченное движение атмосферы, в то время как с точки зрения общей циркуляции атмосферы и теории климата это — просто большие вихри, относимые к неупорядоченному движению атмосферы.

Кинетическая энергия в квантовой механике

В квантовой механике кинетическая энергия представляет собой оператор, записывающийся, по аналогии с классической записью, через импульс, который в этом случае также является оператором ($\hat{p}=-j\hslash \mathrm{\nabla }$, $j$ — мнимая единица):

$\hat{T}=\frac{{\hat{p}}^2}{2m}=-\frac{{\hslash }^2}{2m}\mathrm{\Delta }$

где $\hslash$ — редуцированная постоянная Планка, $\mathrm{\nabla }$ — оператор набла, $\mathrm{\Delta }$ — оператор Лапласа. Кинетическая энергия в таком виде входит в важнейшее уравнение квантовой механики — уравнение Шрёдингера.

Кинетическая энергия в релятивистской механике

Зависимости кинетической энергии от скорости в классическом и релятивистском случаях для массы в 1 кг

Если в задаче допускается движение со скоростями, близкими к скорости света, кинетическая энергия материальной точки определяется как:

$T=\frac{m{c}^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}}-m{c}^2,$

где $m$ — масса материальной точки,

$v$ — скорость движения в выбранной инерциальной системе отсчёта,

$c$ — скорость света в вакууме ($m{c}^2$ — энергия покоя).

Кинетическая энергия в этой формуле может быть разложена в ряд Маклорена по степеням $v/c$:

$T=m{c}^2(\frac{1}{2}(v/c{)}^2+\frac{3}{8}(v/c{)}^4+\cdots ).$

При скоростях много меньших скорости света ($v\ll c$) пренебрегаем членами разложения с высшими степенями и выражение для $T$ переходит в классическую формулу $T\approx 1/2\cdot m{v}^2$.

Как и в классическом случае, имеет место соотношение $\overrightarrow{F}\mathrm{d}\overrightarrow{s}=\mathrm{d}T$, получаемое посредством умножения на $\mathrm{d}\overrightarrow{s}=\overrightarrow{v}\mathrm{d}t$ выражения второго закона Ньютона (в виде $\overrightarrow{F}=m\cdot \mathrm{d}(\overrightarrow{v}/\sqrt{1-v^2/c^2})/\mathrm{d}t$).

Релятивистское соотношение между кинетической энергией и импульсом Шаблон:Math записывается в виде

$T=\sqrt{p^2{c}^2+m^2{c}^4}-m{c}^2=m{c}^2(\sqrt{\frac{p^2}{m^2{c}^2}+1}-1).$

Разложив это выражение по степеням $p^2/(m^2{c}^2),$ получаем

$T=m{c}^2(\frac{p^2}{2m^2{c}^2}-\frac{p^4}{8m^4{c}^4}+\frac{3p^6}{48m^6{c}^6}-\cdots )=\frac{p^2}{2m}-\frac{p^4}{8m^3{c}^2}+\frac{3p^6}{48m^5{c}^4}-\cdots ,$

первый член которого равен нерелятивистскому выражению кинетической энергии через импульс, а последующие члены — релятивистские поправки к этому выражению, которые малы при $p\ll mc.$

Свойства кинетической энергии

• Аддитивность. Это свойство означает, что кинетическая энергия механической системы, состоящей из материальных точек, равна сумме кинетических энергий всех материальных точек, входящих в системуШаблон:Sfn.
• Инвариантность по отношению к повороту системы отсчёта. Кинетическая энергия не зависит от положения точки и направления её скорости, а зависит лишь от модуля скорости или от квадрата её скоростиШаблон:Sfn.
• Неинвариантность по отношению к смене системы отсчёта в общем случае. Это ясно из определения, так как скорость претерпевает изменение при переходе от одной системы отсчёта к другой.
• Сохранение. Кинетическая энергия не изменяется при взаимодействиях, изменяющих лишь механические характеристики системы. Это свойство инвариантно по отношению к преобразованиям ГалилеяШаблон:Sfn. Свойства сохранения кинетической энергии и второго закона Ньютона достаточно, чтобы вывести математическую формулу кинетической энергииШаблон:Sfn.

Физический смысл кинетической энергии

Работа всех сил, действующих на материальную точку при её перемещении, идёт на приращение кинетической энергии:

$A_{12}=T_2-T_1.$

Это равенство актуально как для классической, так и для релятивистской механики (получается интегрированием выражения $\overrightarrow{F}\mathrm{d}\overrightarrow{s}=\mathrm{d}T$ между состояниями 1 и 2).

Соотношение кинетической и внутренней энергии

Кинетическая энергия зависит от того, с каких позиций рассматривается система. Если рассматривать макроскопический объект (например, твёрдое тело видимых размеров) как единое целое, можно говорить о такой форме энергии, как внутренняя энергия. Кинетическая энергия в этом случае появляется лишь тогда, когда тело движется как целое.

То же тело, рассматриваемое с микроскопической точки зрения, состоит из атомов и молекул, и внутренняя энергия обусловлена движением атомов и молекул и рассматривается как следствие теплового движения этих частиц, а абсолютная температура тела прямо пропорциональна средней кинетической энергии такого движения атомов и молекул. Коэффициент пропорциональности — постоянная Больцмана.

См. также

• Теорема о кинетической энергии системы
• Потенциальная энергия
• Закон сохранения энергии
• Хаос
• Энтальпия
• Негэнтропия
• Термодинамика
• Парадокс кинетической энергии

Литература

• Шаблон:Книга
• Фриш С. Э. Курс общей физики. В 3-х тт. Т.1. Физические основы механики. Молекулярная физика. Колебания и волны. 13-е изд. — СПб.: Лань, 2010. — 480 с. — ISBN 978-5-8114-0663-0.
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. Т. 1. Механика. 5-е изд. — М.: Физматлит, 2006. — 560 с. — ISBN 5-9221-0715-1.