Парадокс кинетической энергии

Парадокс кинетической энергии — мысленный эксперимент в рамках классической механики, якобы свидетельствующий о нарушении принципа относительности Галилея. При изменении скорости тела приращение его кинетической энергии в одной системе отсчёта не равно приращению в другой системе отсчёта. Отсюда якобы следует существование систем отсчёта, где нарушается закон сохранения энергии, и, вследствие этого, якобы нарушается принцип относительности Галилея.

Внутренний двигатель

Рассмотрим игрушечный автомобиль с заводной пружиной, которая способна запасать потенциальную энергию $W$. Потерями энергии на трение пренебрежём. Пусть этот запас энергии способен разогнать игрушку до скорости $v$. Перейдём в другую инерциальную систему отсчёта, которая движется относительно Земли навстречу автомобилю со скоростью $v$. С точки зрения этой системы отсчёта, скорость игрушки до разгона равна $v$ и кинетическая энергия равна $W$. Скорость игрушки после разгона равна $2v$ и кинетическая энергия $4W$. Таким образом, кинетическая энергия автомобиля возросла на $3W$, что превышает запас энергии в пружине $W$Шаблон:Sfn.

Объяснение парадокса

Парадокс объясняется тем, что в приведённых рассуждениях не учитывается изменение импульса и кинетической энергии Земли в процессе разгона игрушки. Если учесть изменение импульса и кинетической энергии Земли, то парадокс объясняется. Вращательным движением Земли пока пренебрежём.

Перейдём в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале неподвижны. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение $mv+MV=0$, где $m$ — масса игрушки, $v$ — скорость игрушки, $M$ — масса Земли, $V$ — скорость Земли. В соответствии с законом сохранения энергии можно записать уравнение $W=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{M{V}^2}{2}$. Выражая скорость Земли $V$ из уравнения $mv+MV=0$ и подставляя в уравнение $W=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{M{V}^2}{2}$, получим $W=\frac{m{v}^2}{2}(1+\frac{m}{M})$Шаблон:Sfn.

Перейдём затем в систему отсчёта, в которой Земля и игрушка вначале движутся со скоростью $v$. После разгона игрушки, в соответствии с законом сохранения импульса, можно записать уравнение $m(2v)+M{V}_1=(m+M)v$, где $V_1$ — скорость Земли после разгона игрушки. В соответствии с законом сохранения энергии для изменения кинетической энергии можно записать уравнение $\delta E=\frac{m(2v{)}^2}{2}+\frac{M{V}_1^2}{2}-\frac{(m+M)v^2}{2}$. Выразим скорость Земли $V_1$ из уравнения $m(2v)+M{V}_1=(m+M)v$ и подставим в предыдущее уравнение. Получим $\delta E=3\frac{m{v}^2}{2}+\frac{M}{2}({(1-\frac{m}{M})}^2{v}^2-v^2).$ После простых преобразований получим $\delta E=\frac{m{v}^2}{2}(1+\frac{m}{M})=W$. То есть и в этом случае изменение кинетической энергии всей системы равно потенциальной энергии пружины $W$Шаблон:Sfn.

Изменение кинетической энергии игрушки в новой системе отсчёта в три раза больше, чем в системе отсчёта, связанной с Землёй за счёт того, что оно происходит не только за счёт потенциальной энергии пружины, но и за счёт того, что колёса игрушки в новой системе отсчёта тормозят ЗемлюШаблон:Sfn.

Учтём теперь вызываемое игрушкой вращение Земли. В правой части формулы $W=\frac{m{v}^2}{2}+\frac{M{V}^2}{2}$ появится и кинетическая энергия вращения Земли. Она будет того же порядка, что и кинетическая энергия поступательного движения Земли, поэтому в системе отсчёта, где Земля была неподвижной, ею, как и энергией поступательного движения Земли, можно пренебречь и считать, что вся потенциальная энергия пружины превращается в кинетическую энергию игрушки. В системе отсчёта, где скорости игрушки и Земли в начале равны $v$, кинетическая энергия вращения Земли будет такой же, как и в первой системе отсчёта, поскольку изменение угловой скорости Земли одинаково во всех инерциальных системах отсчёта. Поэтому энергией вращения можно пренебречь и во второй системе отсчётаШаблон:Sfn.

Внешняя сила

Рассмотрим тело массой $m$ движущееся со скоростью $v_1$. Пусть на это тело в течение некоторого времени $t$ действует постоянная сила $F$, направленная по той же прямой, что и скорость $v_1$. Она изменяет скорость тела от значения $v_1$ до значения $v_2$. В результате действия этой силы изменение кинетической энергии тела будет равно $\frac{m}{2}(v_2^2-v_1^2)$.

Теперь перейдём в другую систему отсчёта, движущуюся относительно прежней системы отсчёта равномерно и прямолинейно со скоростью $v$, направленной по той же прямой, что и скорость $v_1$. В этой системе отсчёта изменение кинетической энергии будет равно $\frac{m}{2}((v_2-v{)}^2-(v_1-v{)}^2)=\frac{m}{2}(v_2^2-v_1^2)-mv(v_2-v_1)$, то есть будет меньше, чем в первой системе отсчёта, что не согласуется с принципом относительности Галилея.

Объяснение парадокса

Принцип относительности требует, чтобы в двух рассматриваемых системах отсчёта соблюдались одни и те же физические законы. Таким образом должен выполняться закон сохранения энергии, согласно которому изменение энергии тела должно быть равно работе внешних сил. Поэтому в первой системе должно быть справедливо соотношение $\frac{m}{2}(v_2^2-v_1^2)=Fs$. Здесь $s$ — длина пути, пройденного телом в первой системе за то время, в течение которого скорость возросла с $v_1$ до $v_2$. Так как тело движется с ускорением $\frac{F}{m}$, то $s=v_{1}t+\frac{F}{m}\frac{t^2}{2}$.

Во второй системе $\frac{m}{2}(v_2^2-v_1^2)-mv(v_2-v_1)=F{s}_1$. Здесь $s_1$ — длина пути, пройденного телом во второй системе $s_1=(v_1-v)t+\frac{F}{m}\frac{t^2}{2}$. Итак, $s-s_1=vt$. Так как $\frac{F}{m}=a=\frac{(v_2-v_1)}{t}$, то $t=\frac{m(v_2-v_1)}{F},s-s_1=\frac{mv(v_2-v_1)}{F}$. Таким образом $F(s-s_1)=mv(v_2-v_1)$.

Работа внешней силы в первой системе отсчёта настолько больше, чем во второй, насколько изменение кинетической энергии в первой системе больше, чем во второй. Так как в первой системе изменение энергии равно работе внешних сил, то это справедливо и для второй системы. Следовательно, принцип относительности Галилея не нарушен.

См. также

• Кинетическая энергия
• Закон сохранения энергии

Литература

• Шаблон:Книга
• Throwing a Ball from a Moving Car Шаблон:Ref-en // Mark Levi. Why Cats Land on Their Feet. Princeton University Press, 2012. С. 74-76.