Теорема Кёнига (механика)

Шаблон:Значения Теоре́ма Кёнига позволяет выразить полную кинетическую энергию механической системы через энергию движения центра масс и энергию движения относительно центра масс. Сформулирована и доказана И. С. Кёнигом в 1751 г.Шаблон:Sfn

Формулировка

Кинетическая энергия механической системы есть энергия движения центра масс плюс энергия движения относительно центра масс:

$T=T_0+T_r,$

где $T$ — полная кинетическая энергия системы, $T_0$ — кинетическая энергия движения центра масс, $T_r$ — относительная кинетическая энергия системыШаблон:Sfn.

Иными словами, полная кинетическая энергия тела или системы тел в сложном движении равна сумме энергии системы в поступательном движении и энергии системы в её движении относительно центра масс.

Более точная формулировка: Шаблон:Начало цитаты Кинетическая энергия системы материальных точек равна сумме кинетической энергии всей массы системы, мысленно сосредоточенной в её центре масс и движущейся вместе с ним, и кинетической энергии той же системы в её относительном движении по отношению к поступательно движущейся системе координат с началом в центре масс. Шаблон:Конец цитаты

Вывод

Приведём доказательство теоремы Кёнига для случая, когда массы тел, образующих механическую систему $S$,  распределены непрерывноШаблон:Sfn.

Найдём относительную кинетическую энергию $T_r$ системы $S$,  трактуя её как кинетическую энергию, вычисленную относительно подвижной системы координат. Пусть $\overrightarrow{\rho }$ — радиус-вектор рассматриваемой точки системы $S$  в подвижной системе координат. ТогдаШаблон:Sfn:

$T_r=\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\rho }}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\rho }}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}m,$

где точкой обозначено скалярное произведение, а интегрирование ведётся по области пространства, занимаемой системой в текущий момент времени.

Если ${\overrightarrow{r}}_0$ — радиус-вектор начала координат подвижной системы, а $\overrightarrow{r}$ — радиус-вектор рассматриваемой точки системы $S$  в исходной системе координат, то верно соотношение:

$\overrightarrow{r}={\overrightarrow{r}}_0+\overrightarrow{\rho }.$

Вычислим полную кинетическую энергию системы в случае, когда начало координат подвижной системы помещено в её центр масс. С учётом предыдущего соотношения имеем:

$T=\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}m=\frac{1}{2}\int (\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}_o}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\rho }}{\mathrm{d}t})\cdot (\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}_o}{\mathrm{d}t}+\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\rho }}{\mathrm{d}t})\mathrm{d}m.$

Учитывая, что радиус-вектор ${\overrightarrow{r}}_0$ одинаков для всех $\mathrm{d}m$, можно, раскрыв скобки, вынести $\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}_0}{\mathrm{d}t}$ за знак интеграла:

$T=\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}_0}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}_0}{\mathrm{d}t}\int \mathrm{d}m+\frac{\mathrm{d}{\overrightarrow{r}}_0}{\mathrm{d}t}\cdot \int \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\rho }}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}m+\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\rho }}{\mathrm{d}t}\cdot \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{\rho }}{\mathrm{d}t}\mathrm{d}m.$

Первое слагаемое в правой части этой формулы (совпадающее с кинетической энергией материальной точки, которая помещена в начало координат подвижной системы и имеет массу, равную массе механической системы) может интерпретироватьсяШаблон:Sfn как кинетическая энергия движения центра масс.

Второе слагаемое равно нулю, поскольку второй сомножитель в нём равен импульсу системы относительно центра масс, который равен нулю.

Третье же слагаемое, как было уже показано, равно $T_r$, то есть относительной кинетической энергии системы $S$.

См. также

• Иоганн Самуэль Кёниг
• Теорема о движении центра масс системы
• Кинетическая энергия
• Закон сохранения энергии

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга