Момент инерции

Шаблон:Дзт Шаблон:Физическая величина Моме́нт ине́рции — тензорная физическая величина, мера инертности во вращательном движении вокруг оси, подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении. Характеризуется распределением масс в теле. Момент инерции равен сумме произведений элементарных масс на квадрат их расстояний до базового множества, которое, формально, может представлять собой не обязательно ось вращения (т.е. прямую), но и точку или плоскость. В последних случаях говорят о моменте инерции относительно точки или плоскости, а возникать такие величины могут в формальных вычислениях, например, при расчете тензора инерции.

Единица измерения в Международной системе единиц (СИ): кг·м².

Обозначение: Шаблон:Math или Шаблон:Math.

Различают несколько моментов инерции — в зависимости от типа базового множества до которого отсчитываются расстояния от элементарных масс.

Осевой момент инерции

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моментом инерции механической системы относительно неподвижной оси («осевой момент инерции») называется величина Шаблон:Math, равная сумме произведений масс всех Шаблон:Math материальных точек системы на квадраты их расстояний до оси:

$J_a=\sum _{i=1}^n{m}_i{r}_i^2,$

где:

• Шаблон:Math — масса Шаблон:Math-й точки,
• Шаблон:Math — расстояние от Шаблон:Math-й точки до оси.

Осевой момент инерции тела Шаблон:Math является мерой инертности тела во вращательном движении вокруг оси подобно тому, как масса тела является мерой его инертности в поступательном движении.

$J_a=\underset{(m)}{\int }{r}^{2}dm=\underset{(V)}{\int }\rho r^{2}dV,$

где:

Шаблон:Math — масса малого элемента объёма тела Шаблон:Math,

Шаблон:Math — плотность,

Шаблон:Math — расстояние от элемента Шаблон:Math до оси Шаблон:Math.

Если тело однородно, то есть его плотность всюду одинакова, то

$J_a=\rho \underset{(V)}{\int }{r}^{2}dV.$

Теорема Гюйгенса — Штейнера

Момент инерции твёрдого тела относительно какой-либо оси зависит от массы, формы и размеров тела, а также и от положения тела по отношению к этой оси. Согласно теореме Гюйгенса — Штейнера, момент инерции тела Шаблон:Math относительно произвольной оси равен сумме момента инерции этого тела Шаблон:Math относительно оси, проходящей через центр масс тела параллельно рассматриваемой оси, и произведения массы тела Шаблон:Math на квадрат расстояния Шаблон:Math между осями:

$J=J_c+m{d}^2,$

где Шаблон:Math — полная масса тела.

Например, момент инерции стержня относительно оси, проходящей через его конец, равен:

$J=J_c+m{d}^2=\frac{1}{12}m{l}^2+m{\left(\frac{l}{2}\right)}^2=\frac{1}{3}m{l}^2.$

Осевые моменты инерции некоторых тел

Моменты инерции однородных тел простейшей формы относительно некоторых осей вращения

Тело	Описание	Положение оси Шаблон:Math	Момент инерции Шаблон:Math
	Материальная точка массы Шаблон:Math	На расстоянии Шаблон:Math от точки, неподвижная	$m{r}^2$
	Полый тонкостенный цилиндр или кольцо радиуса Шаблон:Math и массы Шаблон:Math	Ось цилиндра	$m{r}^2$
	Сплошной цилиндр или диск радиуса Шаблон:Math и массы Шаблон:Math	Ось цилиндра	$\frac{1}{2}m{r}^2$
	Полый толстостенный цилиндр массы Шаблон:Math с внешним радиусом Шаблон:Math и внутренним радиусом Шаблон:Math	Ось цилиндра	$m\frac{r_2^2+r_1^2}{2}$Шаблон:Ref+
	Сплошной цилиндр длины Шаблон:Math, радиуса Шаблон:Math и массы Шаблон:Math	Ось перпендикулярна образующей цилиндра и проходит через его центр масс	$\frac{1}{4}m\cdot r^2+\frac{1}{12}m\cdot l^2$
	Полый тонкостенный цилиндр (кольцо) длины Шаблон:Math, радиуса Шаблон:Math и массы Шаблон:Math	Ось перпендикулярна к цилиндру и проходит через его центр масс	$\frac{1}{2}m\cdot r^2+\frac{1}{12}m\cdot l^2$
	Прямой тонкий стержень длины Шаблон:Math и массы Шаблон:Math	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его центр масс	$\frac{1}{12}m{l}^2$
	Прямой тонкий стержень длины Шаблон:Math и массы Шаблон:Math	Ось перпендикулярна к стержню и проходит через его конец	$\frac{1}{3}m{l}^2$
	Тонкостенная сфера радиуса Шаблон:Math и массы Шаблон:Math	Ось проходит через центр сферы	$\frac{2}{3}m{r}^2$
	Шар радиуса Шаблон:Math и массы Шаблон:Math	Ось проходит через центр шара	$\frac{2}{5}m{r}^2$
	Конус радиуса Шаблон:Math и массы Шаблон:Math	Ось конуса	$\frac{3}{10}m{r}^2$
	Равнобедренный треугольник с высотой Шаблон:Math, основанием Шаблон:Math и массой Шаблон:Math	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через вершину (при высоте)	$\frac{1}{24}m(a^2+12h^2)$
	Правильный треугольник (сплошной) со стороной Шаблон:Math и массой Шаблон:Math	Ось перпендикулярна плоскости треугольника и проходит через центр масс	$\frac{1}{12}m{a}^2$
	Квадрат (сплошной) со стороной Шаблон:Math и массой Шаблон:Math	Ось перпендикулярна плоскости квадрата и проходит через центр масс	$\frac{1}{6}m{a}^2$
	Прямоугольник (сплошной) со сторонами Шаблон:Math и Шаблон:Math и массой Шаблон:Math	Ось перпендикулярна плоскости прямоугольника и проходит через центр масс	$\frac{1}{12}m(a^2+b^2)$
	Правильный n-угольник (сплошной) с радиусом описанной окружности Шаблон:Math и массой Шаблон:Math	Ось перпендикулярна плоскости и проходит через центр масс	$\frac{m{r}^2}{6}[1+2{\cos }^2(\pi /n)]$
	Тор (полый) с радиусом направляющей окружности Шаблон:Math, радиусом образующей окружности Шаблон:Math и массой Шаблон:Math	Ось перпендикулярна плоскости направляющей окружности тора и проходит через центр масс	$I=m(\frac{3}{4}{r}^2+R^2)$

Вывод формул

Тонкостенный цилиндр (кольцо, обруч) Шаблон:Hider Толстостенный цилиндр (кольцо, обруч) Шаблон:Hider

Однородный диск (сплошной цилиндр) Шаблон:Hider

Сплошной конус Шаблон:Hider

Сплошной однородный шар Шаблон:Hider

Тонкостенная сфера Шаблон:Hider

Тонкий стержень (ось проходит через центр) Шаблон:Hider

Тонкий стержень (ось проходит через конец) Шаблон:Hider

Безразмерные моменты инерции планет и спутников

Большое значение для исследований внутренней структуры планет и их спутников имеют их безразмерные моменты инерции. Безразмерный момент инерции тела радиуса Шаблон:Math и массы Шаблон:Math равен отношению его момента инерции относительно оси вращения к моменту инерции материальной точки той же массы относительно неподвижной оси вращения, расположенной на расстоянии Шаблон:Math (равному Шаблон:Math). Эта величина отражает распределение массы по глубине. Одним из методов её измерения у планет и спутников является определение доплеровского смещения радиосигнала, передаваемого АМС, пролетающей около данной планеты или спутника. Для тонкостенной сферы безразмерный момент инерции равен 2/3 (~0,67), для однородного шара — 0,4, и вообще тем меньше, чем большая масса тела сосредоточена у его центра. Например, у Луны безразмерный момент инерции близок к 0,4 (равен 0,391), поэтому предполагают, что она относительно однородна, её плотность с глубиной меняется мало. Безразмерный момент инерции Земли меньше, чем у однородного шара (равен 0,335), что является аргументом в пользу существования у неё плотного ядра.

Центробежный момент инерции

Центробежными моментами инерции тела по отношению к осям прямоугольной декартовой системы координат называются следующие величины:

$J_{xy}=\underset{(m)}{\int }xydm=\underset{(V)}{\int }xy\rho dV,$

$J_{xz}=\underset{(m)}{\int }xzdm=\underset{(V)}{\int }xz\rho dV,$

$J_{yz}=\underset{(m)}{\int }yzdm=\underset{(V)}{\int }yz\rho dV,$

где Шаблон:Math, Шаблон:Math и Шаблон:Math — координаты малого элемента тела объёмом Шаблон:Math, плотностью Шаблон:Math и массой Шаблон:Math.

Ось OX называется главной осью инерции тела, если центробежные моменты инерции Шаблон:Math и Шаблон:Math одновременно равны нулю. Через каждую точку тела можно провести три главные оси инерции. Эти оси взаимно перпендикулярны друг другу. Моменты инерции тела относительно трёх главных осей инерции, проведённых в произвольной точке Шаблон:Math тела, называются главными моментами инерции данного тела.

Главные оси инерции, проходящие через центр масс тела, называются главными центральными осями инерции тела, а моменты инерции относительно этих осей — его главными центральными моментами инерции. Ось симметрии однородного тела всегда является одной из его главных центральных осей инерции.

Геометрические моменты инерции

Геометрический момент инерции объёма относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой:

$J_{Va}=\underset{(V)}{\int }{r}^{2}dV,$

где, как и ранее Шаблон:Math — расстояние от элемента Шаблон:Math до оси Шаблон:Math.

Размерность Шаблон:Math — длина в пятой степени ($\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{J}_{Va}={\mathrm{L}}^{\mathrm{5}}$), соответственно единица измерения СИ — м⁵.

Геометрический момент инерции площади относительно оси — геометрическая характеристика тела, выражаемая формулой:

$J_{Sa}=\underset{(S)}{\int }{r}^{2}dS,$

где интегрирование выполняется по поверхности Шаблон:Math, а Шаблон:Math — элемент этой поверхности.

Размерность Шаблон:Math — длина в четвёртой степени ($\mathrm{d}\mathrm{i}\mathrm{m}{J}_{Sa}={\mathrm{L}}^{\mathrm{4}}$), соответственно единица измерения СИ — м⁴. В строительных расчетах, литературе и сортаментах металлопроката часто указывается в см⁴.

Через геометрический момент инерции площади выражается момент сопротивления сечения:

$W=\frac{J_{Sa}}{r_{max}}.$

Здесь Шаблон:Math — максимальное расстояние от поверхности до оси.

Геометрические моменты инерции площади некоторых фигур
Прямоугольника высотой $h$ и шириной $b$:	$J_y=\frac{b{h}^3}{12}$ $J_z=\frac{h{b}^3}{12}$
Прямоугольного коробчатого сечения высотой и шириной по внешним контурам $H$ и $B$, а по внутренним $h$ и $b$ соответственно	$J_z=\frac{B{H}^3}{12}-\frac{b{h}^3}{12}=\frac{1}{12}(B{H}^3-b{h}^3)$ $J_y=\frac{H{B}^3}{12}-\frac{h{b}^3}{12}=\frac{1}{12}(H{B}^3-h{b}^3)$
Круга диаметром $d$	$J_y=J_z=\frac{\pi d^4}{64}$

Момент инерции относительно плоскости

Моментом инерции твёрдого тела относительно некоторой плоскости называют скалярную величину, равную сумме произведений массы каждой точки тела на квадрат расстояния от этой точки до рассматриваемой плоскости.

Если через произвольную точку $O$ провести координатные оси $x,y,z$, то моменты инерции относительно координатных плоскостей $xOy$, $yOz$ и $zOx$ будут выражаться формулами:

$J_{xOy}=\sum _{i=1}^n{m}_i{z}_i^2,$

$J_{yOz}=\sum _{i=1}^n{m}_i{x}_i^2,$

$J_{zOx}=\sum _{i=1}^n{m}_i{y}_i^2.$

В случае сплошного тела суммирование заменяется интегрированием.

Центральный момент инерции

Центральный момент инерции (момент инерции относительно точки O, момент инерции относительно полюса, полярный момент инерции) $J_O$  — это величина, определяемая выражением:

$J_a=\underset{(m)}{\int }{r}^{2}dm=\underset{(V)}{\int }\rho r^{2}dV,$

где:

• $dm=\rho dV$ — масса малого элемента объёма тела $dV$,
• $\rho$ — плотность,
• $r$ — расстояние от элемента $dV$ до точки O.

Центральный момент инерции можно выразить через главные осевые моменты инерции, а также через моменты инерции относительно плоскостей:

$J_O=\frac{1}{2}(J_x+J_y+J_z),$

$J_O=J_{xOy}+J_{yOz}+J_{xOz}.$

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Момент инерции тела относительно произвольной оси, проходящей через центр масс и имеющей направление, заданное единичным вектором $\overrightarrow{s}={\Vert s_x,s_y,s_z\Vert }^T,\left|\overrightarrow{s}\right|=1$, можно представить в виде квадратичной (билинейной) формы:

$I_s={\overrightarrow{s}}^T\cdot \hat{J}\cdot \overrightarrow{s},$ (1)

где $\hat{J}$ — тензор инерции. Матрица тензора инерции симметрична, имеет размеры $3\times 3$ и состоит из компонент центробежных моментов:

$\hat{J}=\Vert \begin{array}{ccc}{J}_{xx}& -J_{xy}& -J_{xz}\\ -J_{yx}& J_{yy}& -J_{yz}\\ -J_{zx}& -J_{zy}& J_{zz}\end{array}\Vert ,$

$J_{xy}=J_{yx},J_{xz}=J_{zx},J_{zy}=J_{yz},$$J_{xx}=\underset{(m)}{\int }(y^2+z^2)dm,J_{yy}=\underset{(m)}{\int }(x^2+z^2)dm,J_{zz}=\underset{(m)}{\int }(x^2+y^2)dm.$

Выбором соответствующей системы координат матрица тензора инерции может быть приведена к диагональному виду. Для этого нужно решить задачу о собственных значениях для матрицы тензора $\hat{J}$:

${\hat{J}}_d={\hat{Q}}^T\cdot \hat{J}\cdot \hat{Q},$

${\hat{J}}_d=\Vert \begin{array}{ccc}{J}_X& 0& 0\\ 0& J_Y& 0\\ 0& 0& J_Z\end{array}\Vert ,$

где $\hat{Q}$ — ортогональная матрица перехода в собственный базис тензора инерции. В собственном базисе координатные оси направлены вдоль главных осей тензора инерции, а также совпадают с главными полуосями эллипсоида тензора инерции. Величины $J_X,J_Y,J_Z$ — главные моменты инерции. Выражение (1) в собственной системе координат имеет вид:

$I_s=J_X\cdot s_x^2+J_Y\cdot s_y^2+J_Z\cdot s_z^2,$

откуда получается уравнение эллипсоида в собственных координатах. Разделив обе части уравнения на $I_s$

${\left(\frac{s_x}{\sqrt{I_s}}\right)}^2\cdot J_X+{\left(\frac{s_y}{\sqrt{I_s}}\right)}^2\cdot J_Y+{\left(\frac{s_z}{\sqrt{I_s}}\right)}^2\cdot J_Z=1$

и произведя замены:

$\xi =\frac{s_x}{\sqrt{I_s}},\eta =\frac{s_y}{\sqrt{I_s}},\zeta =\frac{s_z}{\sqrt{I_s}},$

получаем канонический вид уравнения эллипсоида в координатах $\xi \eta \zeta$:

${\xi }^2\cdot J_X+{\eta }^2\cdot J_Y+{\zeta }^2\cdot J_Z=1.$

Расстояние от центра эллипсоида до некоторой его точки связано со значением момента инерции тела вдоль прямой, проходящей через центр эллипсоида и эту точку:

$r^2={\xi }^2+{\eta }^2+{\zeta }^2={\left(\frac{s_x}{\sqrt{I_s}}\right)}^2+{\left(\frac{s_y}{\sqrt{I_s}}\right)}^2+{\left(\frac{s_z}{\sqrt{I_s}}\right)}^2=\frac{1}{I_s}.$

См. также

• Кинематика твёрдого тела
• Метод главных компонент
• Сопротивление материалов
• Теорема Штейнера
• Теорема Кёнига (механика)
• Механические приложения тройного интеграла
• Механические приложения двойного интеграла
• Полярный момент инерции
• Список моментов инерции
• Момент силы
• Момент импульса

Литература

• Матвеев. А. Н. Механика и теория относительности. М.: Высшая школа, 1986. (3-е изд. М.: ОНИКС 21 век: Мир и Образование, 2003. — 432с.)
• Трофимова Т. И. Курс физики. — 7-е изд. — М.: Высшая школа, 2001. — 542 с.
• Алешкевич В. А., Деденко Л. Г., Караваев В. А. Механика твердого тела. Лекции. Шаблон:Wayback Издательство Физического факультета МГУ, 1997.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
• Яворский Б. М., Детлаф А. А. Физика для школьников старших классов и поступающих в вузы: учебное пособие — М.: Дрофа, 2002, 800с. ISBN 5-7107-5956-3
• Сивухин Д. В. Общий курс физики. В 5 т. Том I. Механика. 4-е изд. М.: ФИЗМАТЛИТ; Изд-во МФТИ, 2005. — 560 с.
• Беляев Н. М. Сопротивление материалов. Главная редакция физико-математической литературы изд-ва «Наука», 1976. — 608 с.

Ссылки

• Определение момента инерции тел простой формы.