Список моментов инерции

Приведены формулы моме́нтов ине́рции для ряда массивных твёрдых тел различной формы. Момент инерции массы имеет размерность масса × длину². Он является аналогом массы при описании вращательного движения. Не следует путать его с Шаблон:Уточнить 2, который используется при расчетах изгибов.

Моменты инерции в таблице рассчитаны для постоянной плотности по всему объекту. Также предполагается, что ось вращения проходит через центр масс, если не указано иное.

Описание	Моменты инерции	Комментарии
Тонкая цилиндрическая оболочка с открытыми концами радиуса r и массы m	$I = m r^{2}$ ^[1]	Предполагается, что толщина корпуса пренебрежимо мала. Этот объект является частным случаем нижеследующего при r₁=r₂. Кроме того, точка массы m на конце стержня длиной r имеет тот же момент инерции, а r называется радиусом инерции.
Толстостенная цилиндрическая труба с открытыми концами, внутреннего радиуса r₁, внешнего радиуса r₂, длиной h и массой m	$I_{z} = \frac{1}{2} m ({r_{2}}^{2} + {r_{1}}^{2})$ ^[1]^[2] $I_{x} = I_{y} = \frac{1}{12} m [3 ({r_{2}}^{2} + {r_{1}}^{2}) + h^{2}]$ или при определении нормированной толщины t_n = t/r и полагая r = r₂, тогда $I_{z} = m r^{2} (1 - t_{n} + \frac{1}{2} {t_{n}}^{2})$	При плотности ρ и той же геометрии: $I_{z} = \frac{1}{2} π ρ h ({r_{2}}^{4} - {r_{1}}^{4})$
Сплошной цилиндр радиуса r, высотой h и массы m	$I_{z} = \frac{m r^{2}}{2}$ ^[1] $I_{x} = I_{y} = \frac{1}{12} m (3 r^{2} + h^{2})$	Это частный случай предыдущего объекта при r₁=0. (Примечание: для правориентированной системы координат оси X-Y нужно поменять местами)
Тонкий твердый диск радиуса r и массы m	$I_{z} = \frac{m r^{2}}{2}$ $I_{x} = I_{y} = \frac{m r^{2}}{4}$	Это частный случай предыдущего объекта при h=0.
Тонкое кольцо радиуса r и массы m	$I_{z} = m r^{2}$ $I_{x} = I_{y} = \frac{m r^{2}}{2}$	Это частный случай тора при b=0 (см. ниже), а также частный случай толстостенной цилиндрической трубы с открытыми концами при r₁=r₂ и h=0.
Твёрдый шар радиуса r и массы m	$I = \frac{2 m r^{2}}{5}$ ^[1]	Шар можно представить как множество бесконечно тонких твёрдых дисков, радиус которых изменяется от 0 до r.
Пустотелая сфера радиуса r и массы m	$I = \frac{2 m r^{2}}{3}$ ^[1]	Аналогично твёрдой сфере, пустотелую сферу можно рассматривать как множество бесконечно тонких колец.
Твёрдый эллипсоид с полуосями a, b и c, с осью вращения a и массой m	$I_{a} = \frac{m (b^{2} + c^{2})}{5}$	—
Прямой круговой конус радиуса r, высоты h и массы m	$I_{z} = \frac{3}{10} m r^{2}$ ^[3] $I_{x} = I_{y} = \frac{3}{5} m (\frac{r^{2}}{4} + h^{2})$ ^[3]	—
Твёрдый кубоид с высотой h, шириной w, глубиной d и массой m	$I_{h} = \frac{1}{12} m (w^{2} + d^{2})$ $I_{w} = \frac{1}{12} m (h^{2} + d^{2})$ $I_{d} = \frac{1}{12} m (h^{2} + w^{2})$	Для аналогично ориентированного куба с длиной ребра $s$ , $I_{C M} = \frac{m s^{2}}{6}$ .
Твёрдый кубоид с высотой D, шириной W, длиной L, массой m и с осью вращения вдоль самой длинной диагонали.	$I = \frac{m (W^{2} D^{2} + L^{2} D^{2} + W^{2} L^{2})}{6 (L^{2} + W^{2} + D^{2})}$	Для куба с длиной ребра $s$ , $I = \frac{m s^{2}}{6}$ .
Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m	$I_{c} = \frac{m (h^{2} + w^{2})}{12}$ ^[1]	—
Стержень длины L и массы m	$I_{c e n t e r} = \frac{m L^{2}}{12}$ ^[1]	Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для w = L и h = 0.
Тонкая прямоугольная пластина высоты h, ширины w и массы m (Ось вращения в конце пластины)	$I_{e} = \frac{m h^{2}}{3} + \frac{m w^{2}}{12}$	—
Стержень длины L и массы m (Ось вращения на конце стержня)	$I_{e n d} = \frac{m L^{2}}{3}$ ^[1]	Это выражение предполагает, что стержень имеет вид бесконечно тонкой, но жёсткой проволоки. Это частный случай предыдущего объекта для h = L и w = 0.
Тороидальная труба радиуса a, радиуса сечения b и массы m.	Ось вращения относительно диаметра: $\frac{1}{8} (4 a^{2} + 5 b^{2}) m$ ^[4] Ось вращения относительно вертикальной оси: $(a^{2} + \frac{3}{4} b^{2}) m$ ^[4]	—
Плоскость многоугольника с вершинами ${\vec{P}}_{1}$ , ${\vec{P}}_{2}$ , ${\vec{P}}_{3}$ , ..., ${\vec{P}}_{N}$ и массой $m$ , равномерно распределенной на его объёму, вращающийся относительно оси, перпендикулярной плоскости и проходящей через начало координат.	$I = \frac{m}{6} \frac{\sum_{n = 1}^{N - 1} ‖ {\vec{P}}_{n + 1} \times {\vec{P}}_{n} ‖ ({\vec{P}}_{n + 1}^{2} + {\vec{P}}_{n + 1} \cdot {\vec{P}}_{n} + {\vec{P}}_{n}^{2})}{\sum_{n = 1}^{N - 1} ‖ {\vec{P}}_{n + 1} \times {\vec{P}}_{n} ‖}$	—
Бесконечный диск с нормально распределенной вокруг осей вращения массой по двум координатам (т.е. $ρ (x, y) = \frac{m}{2 π a b} e^{- ((x / a)^{2} + (y / b)^{2}) / 2}$ где: $ρ (x, y)$ — плотность масс как функция x и y).	$I = m (a^{2} + b^{2})$
Две точечные массы M и m на расстоянии x друг от друга	$I = \frac{M m}{M + m} x^{2} = μ x^{2}$	$μ$ — приведённая масса.