Приведённая масса

Приведённая масса — условная характеристика распределения масс в движущейся механической или смешанной (например, электро-механической) системе, зависящая от физических параметров системы (масс, моментов инерции, индуктивности и др.) и от её закона движения.

Обычно приведенная масса $\mu$ определяется из равенства $T=\mu v^2/2$, где $T$ — кинетическая энергия системы, а $v$ — скорость той точки системы, к которой приводится масса. В более общем виде приведённая масса является коэффициентом инерции ${\mu }_{ij}$ в выражении кинетической энергии системы со стационарными связями, положение которой определяется $n$ обобщёнными координатами $r_i$:

$2T=\sum _{i,j=1}^n{\mu }_{ij}\dot{r_i}\dot{r_j},$

где точка означает дифференцирование по времени, а ${\mu }_{ij}$ есть функции обобщённых координат.

Задача двух тел

В задаче двух тел, возникающей, например, в небесной механике или теории рассеяния, приведённая масса появляется как некая эффективная масса, когда задачу двух тел сводят к двум задачам об одном теле. Рассмотрим два тела: одно с массой $m_1$ и другое с массой $m_2$. В эквивалентной проблеме одного тела рассматривают движение тела с приведённой массой, равной

$\mu =\frac{1}{\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}}=\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2},$

где сила, действующая на эту массу, дается силой, действующей между этими двумя телами. Видно, что приведённая масса равна половине среднего гармонического двух масс.

Приведённая масса всегда меньше каждой из масс $m_1$ или $m_2$ или равна нулю, если одна из масс равна нулю. Пусть масса $m_2$ значительно меньше массы $m_1$ ($m_2\ll m_1$), тогда приближённое выражение для приведенной массы будет

$\mu =\frac{m_2}{1+m_2/m_1}\approx m_2(1-\frac{m_2}{m_1})\approx m_{\mathrm{2}}.$

Механика Ньютона

Используя второй закон Ньютона, можно найти, что воздействие тела 2 на тело 1 задаётся силой

${𝐅}_{12}=m_1{𝐚}_1.$

Тело 1 оказывает влияние на тело 2 посредством силы

${𝐅}_{21}=m_2{𝐚}_2.$

В силу третьего закона Ньютона эти две силы равны и противоположны по направлению:

${𝐅}_{12}=-{𝐅}_{21}.$

Таким образом, имеем

$m_1{𝐚}_1=-m_2{𝐚}_2$

или

${𝐚}_2=-\frac{m_1}{m_2}{𝐚}_1.$

Тогда относительное ускорение между двумя телами будет даваться выражением

$𝐚={𝐚}_1-{𝐚}_2=\left(1+\frac{m_1}{m_2}\right){𝐚}_1=\frac{m_2+m_1}{m_1{m}_2}{m}_1{𝐚}_1=\frac{{𝐅}_{12}}{\mu }.$

Тогда можно заключить, что тело 1 двигается относительно положения тела 2 (и в поле силового воздействия тела 2) как тело с массой, равной приведённой массе $\mu$.

Механика Лагранжа

Задачу двух тел также можно описывать в лагранжевом подходе. Функция Лагранжа представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий. В данной задаче это

$L=\frac{1}{2}{m}_1{\dot{𝐫}}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{\dot{𝐫}}_2^2-V(|{𝐫}_1-{𝐫}_2|)$

где ${𝐫}_i$ — радиус-вектор i-ой частицы с массой $m_i$. Потенциальная энергия зависит от расстояния между частицами. Определим вектор

$𝐫={𝐫}_1-{𝐫}_2$,

и пусть центр масс задаёт систему отсчёта

$m_1{𝐫}_1+m_2{𝐫}_2=0$.

Тогда вектора положений масс $m_i$ переопределяются как

${𝐫}_1=\frac{m_2𝐫}{m_1+m_2},{𝐫}_2=\frac{-m_1𝐫}{m_1+m_2}.$

Тогда новую функцию Лагранжа можно переписать в виде

$L=\frac{1}{2}\mu {\dot{𝐫}}^2-V(r),$

откуда видно, что задача двух тел редуцировалась в задачу движения одного тела.

Применение

Приведенная масса может иметь отношение к более общим алгебраическим выражениям, которые задают взаимосвязь элементов системы и имеют вид

$\frac{1}{x_{\text{eq}}}=\sum _{i=1}^n\frac{1}{x_i}=\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n},$

где $x_i$ — характеристика i-го элемента системы (например, сопротивление резистора в параллельной цепи), $x_{eq}$ — эквивалентная характеристика всей системы n элементов (например, полное сопротивление параллельного участка цепи). Такого рода выражения возникают во многих областях физики.

Понятие приведённой массы может встречаться в инженерных науках, например при расчётах конструкций на ударную нагрузку.

Ссылки

• Приведённая масса на HyperPhysics Шаблон:Wayback

См. также

• Задача двух тел