Полярный момент инерции

Схема к вычислению полярного момента инерции

Поля́рный моме́нт ине́рции — интегральная сумма произведений площадей, элементарных площадок dA на квадрат их расстояния от полюса — ρ², взятого по всей площади сечения. То есть:

$J_{p0}=\underset{A}{\int }{\rho }^{2}dA$

Эта величина используется для прогнозирования способности объекта оказывать сопротивление кручению. Она имеет размерность единиц длины в четвёртой степени (м⁴, см⁴) и может быть лишь положительной.

Для площади сечения, имеющей форму круга радиусом r полярный момент инерции равен:

$J_{p0}=\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\underset{0}{\overset{r}{\int }}{\rho }^2\rho d\rho d\varphi =\frac{\pi r^4}{2}=\frac{\pi (D/2{)}^4}{2}=\frac{\pi D^4}{32}.$

Если совместить начало декартовой прямоугольной системы координат 0 с полюсом полярной системы (см. рис.), то:

$J_{p0}=J_x+J_y$

потому что ${\rho }^2=x^2+y^2.$

Применение

Полярный момент инерции используется в формулах, которые описывают зависимость между касательными напряжениями и крутящим моментом, который их вызывает. Касательное напряжение:

$\tau =\frac{Tr}{J_{p0}}$

где

$T$ — крутящий момент,

$r$ — расстояние от оси кручения

$J_{p0}$ — полярный момент инерции.

Полярный момент инерции для некоторых случаев

Распределение касательных напряжений при кручении

Для круглого сплошного сечения:

$J_{p0}=\frac{\pi D^4}{32}$

где $D$ — диаметр круга.

Для кольцевого сечения (полый вал):

$J_{p0}=\frac{\pi D^4}{32}(1-\frac{d^4}{D^4}),$

где $D$ — внешний диаметр кольца,

$d$ — внутренний диаметр кольца.

См. также

• Полярный момент сопротивления
• Момент инерции

Литература

• Феодосьев В. И. Сопротивление материалов. Изд. 10-е, перераб. и доп. - М.: МГТУ им. Н. Э. Баумана, 1999 год. Рецензенты академик РАН Образцов И. Ф. и д. т. н профессор Чирков И. П.