Эллипсоид инерции

Эллипсо́ид ине́рции (для точки O) — геометрическая фигура в виде поверхности второго порядка, которая характеризует тензор инерции твёрдого тела относительно точки O.

Тензор инерции и эллипсоид инерции

Основная статья: Тензор инерции

Момент инерции тела дается общей формулой:

$I=\int {𝐫}_{\mathrm{\perp }}^{2}dm$

Тензор инерции для твердого тела представляется в виде симметричной матрицы

$\left(\begin{array}{ccc}{I}_{xx}& I_{xy}& I_{xz}\\ I_{yx}& I_{yy}& I_{yz}\\ I_{zx}& I_{zy}& I_{zz}\end{array}\right)$

в которой элементы являются моментами инерции относительно различных осей: Шаблон:Col-begin Шаблон:Col-2 $I_{xx}=\int (y^2+z^2)dm$
$I_{yy}=\int (x^2+z^2)dm$
$I_{zz}=\int (x^2+y^2)dm$ Шаблон:Col-2 $I_{xy}=I_{yx}=-\int xydm$
$I_{xz}=I_{zx}=-\int xzdm$
$I_{yz}=I_{zy}=-\int yzdm$ Шаблон:Col-end

Матрица тензора инерции может быть представлена в диагональном виде, и тогда диагональные элементы $I_x$, $I_y$, $I_z$ будут главными моментами инерции тела. Уравнение эллипсоида инерции тогда запишется как:

$I_x{x}^2+I_y{y}^2+I_z{z}^2=1$

При этом координатные оси эллипсоида должны совпадать с главными осями тела.

Знание эллипсоида инерции позволяет найти момент инерции тела относительно любой оси, если только она проходит через центр эллипсоида. Для этого вдоль выбранной оси проводится радиус-вектор до пересечения с эллипсоидом инерции. Момент инерции тела относительно этой оси даётся формулой:

$I=\frac{1}{r^2}$, где $r$ — длина радиус-вектора.

Если момент внешних сил относительно неподвижной точки равен нулю, то говорят, что реализуется случай Эйлера движения твердого тела. Для такого случая Пуансо удалось получить наглядную геометрическую интерпретацию: эллипсоид инерции для неподвижной точки катится без скольжения по плоскости, неподвижной в пространстве; эта плоскость ортогональна вектору кинетического момента тела; угловая скорость тела пропорциональна длине радиус-вектора точки касания, а по направлению с ним совпадает.

Примеры эллипсоидов инерции

Элиипсоид инерции стержня

Эллипсоид инерции прямоугольного параллелепипеда

Прямоугольный параллелепипед

Пусть параллелепипед имеет размеры $a,b,c$. Главные моменты инерции:

$I_x=\frac{m}{12}(b^2+c^2),I_y=\frac{m}{12}(a^2+c^2),I_z=\frac{m}{12}(a^2+b^2)$

Примерный вид эллипсоида инерции представлен на иллюстрации.

Для расчета эллипсоида инерции тонкого стержня один из размеров считается много больше остальных, и эллипсоид вырождается в цилиндрическую поверхность. Шаблон:-

Литература

1. Шаблон:Книга
2. Шаблон:Книга
3. Шаблон:Книга