Теорема о кинетической энергии системы

Теоре́ма о кинети́ческой эне́ргии систе́мы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Формулировка теоремы

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел, входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение:

Шаблон:Quotation

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к работе всех внешних и внутренних сил необходимо добавить работу переносных сил инерции (кориолисовы силы инерции не могут производить работу).

Доказательство теоремы

Рассмотрим систему материальных точек с массами $m_i$, скоростями ${\overrightarrow{v}}_i$ и кинетическими энергиями $T_i=\frac{1}{2}{m}_i{v_i}^2$. Для малого изменения кинетической энергии (дифференциала), происходящего в течение некоторого малого промежутка времени $dt,$ будет выполняться

$d{T}_i=m_i{\overrightarrow{v}}_{i}d{\overrightarrow{v}}_i=m_i{\overrightarrow{v}}_i\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}dt.$

Учитывая, что $\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}$ представляет собой ускорение i-ой точки ${\overrightarrow{a}}_i$, а ${\overrightarrow{v}}_{i}dt$ — перемещение той же точки $d{\overrightarrow{s}}_i$ за время $dt$, полученное выражение можно записать в виде:

$d{T}_i=m_i{\overrightarrow{a}}_{i}d{\overrightarrow{s}}_i.$

Используя второй закон Ньютона и обозначая равнодействующую всех сил, действующих на точку, как $F_i$, получаем

$d{T}_i={\overrightarrow{F}}_{i}d{\overrightarrow{s}}_i,$

а затем в соответствии с определением работы $d{A}_i$

$d{T}_i=d{A}_i.$

Суммирование всех уравнений такого вида, записанных для каждой из материальных точек, приводит к формуле для изменения полной кинетической энергии системы:

$dT=\sum _{i}d{A}_i.$

Данное равенство выражает утверждение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальном виде.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми $t_1$ и $t_2$, получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

$T_2-T_1=\sum _i{A}_i,$

где $T_1$ и $T_2$ — значения кинетической энергии системы в моменты времени $t_1$ и $t_2$ соответственно.

Необходимо подчеркнуть, что здесь, в отличие от случаев теоремы об изменении количества движения системы и теоремы о движении центра масс системы, учитывается действие не только внешних, но и внутренних сил.

Закон сохранения механической энергии

Отдельный интерес представляют системы, в которых на тела действуют потенциальные силы. Для таких сил вводится понятие потенциальной энергии, изменение которой в случае одной материальной точки по определению удовлетворяет соотношению:

$W_{2i}-W_{1i}=-A_{pi},$

где $W_{1i}$ и $W_{2i}$ — значения потенциальной энергии точки в начальном и конечном состояниях соответственно, а $A_{pi}$ — работа потенциальной силы, совершаемая при перемещении точки из начального состояния в конечное.

Изменение потенциальной энергии системы получается в результате суммирования изменений энергий всех тел системы:

$W_2-W_1=-\sum _i{A}_{pi}.$

Если все внутренние и внешние силы, действующие на тела системы, потенциальны, то

$\sum _i{A}_i=\sum _i{A}_{pi}=-(W_2-W_1).$

Подставляя полученное выражение в уравнение теоремы о кинетической энергии, получим:

$T_2-T_1=-(W_2-W_1)$

или, что то же самое

$T_2+W_2=T_1+W_1.$

Иначе говоря, получается, что для полной механической энергии системы $T+W$ выполняется

$T+W=const.$

Таким образом, можно сделать вывод:

Шаблон:Quotation

Данное утверждение и составляет содержание закона сохранения механической энергии, являющегося следствием теоремы о кинетической энергии и одновременно частным случаем общего физического закона сохранения энергии.

Случай системы с идеальными стационарными связями

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями утверждает:

Шаблон:Quotation

Теорема доказывается следующим образом. Заменяя в общем уравнении динамики $\delta {\overrightarrow{r}}_k$ на ${\overrightarrow{v}}_{k}dt$, получаем:

$(\sum m_k{\overrightarrow{w}}_k){\overrightarrow{v}}_{k}dt=\sum {\overrightarrow{F}}_k{\overrightarrow{v}}_{k}dt$

или

$(d\sum m_k{\overrightarrow{v}}_k){\overrightarrow{v}}_k=\sum {\overrightarrow{F}}_k^{ae}{\overrightarrow{v}}_{k}dt+\sum {\overrightarrow{F}}_k^{ai}{\overrightarrow{v}}_{k}dt$

Поскольку $d{\overrightarrow{v}}_k{\overrightarrow{v}}_k=d\frac{v_k^2}{2}$, получаем окончательно:

$dT=d^{\prime }{A}^{ae}+d^{\prime }{A}^{ai}$

Верхние значки в этих выражениях обозначают: $a^{}$ — активная (то есть не являющаяся реакцией связей) сила, $e^{}$ (от Шаблон:Lang-en) и $i^{}$ (от Шаблон:Lang-en) — соответственно, внешняя и внутренняя сила.

См. также

• Теорема о движении центра масс системы
• Теорема об изменении количества движения системы