Теорема об изменении количества движения системы

Теоре́ма об измене́нии коли́чества движе́ния (и́мпульса) систе́мы — одна из общих теорем динамики, является следствием законов Ньютона. Связывает количество движения с импульсом внешних сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел.

Формулировка теоремы

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, — это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема об изменении количества движения системы утверждает: Шаблон:Quotation

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к внешним силам необходимо добавлять переносные и кориолисовы силы инерции.

Доказательство

Пусть система состоит из $N$ материальных точек с массами $m_i$ и ускорениями ${\overrightarrow{a}}_i$. Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:

• Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i, обозначим ${\overrightarrow{F}}_i$.
• Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать ${\overrightarrow{f}}_{i,k}$, а силу воздействия i-й точки на k-ю точку — ${\overrightarrow{f}}_{k,i}$. Очевидно, что если $i=k$, то ${\overrightarrow{f}}_{i,k}=0.$

Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде

$m_i{\overrightarrow{a}}_i={\overrightarrow{F}}_i+\sum _k{\overrightarrow{f}}_{i,k}.$

Учитывая, что $m_i{\overrightarrow{a}}_i=m_i\frac{d{\overrightarrow{v}}_i}{dt}=\frac{d(m_i{\overrightarrow{v}}_i)}{dt}$, и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:

$\sum _i\frac{d(m_i{\overrightarrow{v}}_i)}{dt}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i+\sum _i\sum _k{\overrightarrow{f}}_{i,k}.$

Выражение $\sum _i\sum _k{\overrightarrow{f}}_{i,k}$ представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе ${\overrightarrow{f}}_{i,k}$ соответствует сила ${\overrightarrow{f}}_{k,i}$ такая, что ${\overrightarrow{f}}_{i,k}=-{\overrightarrow{f}}_{k,i}$ и, значит, выполняется ${\overrightarrow{f}}_{i,k}+{\overrightarrow{f}}_{k,i}=0.$ Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать

$\sum _i\frac{d(m_i{\overrightarrow{v}}_i)}{dt}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i.$

Используя для количества движения системы $\sum _i{m}_i{\overrightarrow{v}}_i$ обозначение $\overrightarrow{P}$, получим

$\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_i.$

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил $d\overrightarrow{R}=\sum _i{\overrightarrow{F}}_{i}dt$, получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

$d\overrightarrow{P}=d\overrightarrow{R}.$

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми $t_1$ и $t_2$, получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

${\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1=\overrightarrow{R}(t_2,t_1),$

где ${\overrightarrow{P}}_1$ и ${\overrightarrow{P}}_2$ — значения количества движения системы в моменты времени $t_1$ и $t_2$ соответственно, а $\overrightarrow{R}(t_2,t_1)$ — импульс внешних сил за промежуток времени $t_2-t_1$. В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями, выполняется

$\overrightarrow{R}(t_2,t_1)=\sum _i\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}{\overrightarrow{F}}_i(t)dt.$

Закон сохранения количества движения системы

Шаблон:Main Из теоремы об изменении количества движения системы следует, что в отсутствие внешних сил (замкнутая система), а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю выполняется $d\overrightarrow{P}=0$ и ${\overrightarrow{P}}_2-{\overrightarrow{P}}_1=0$. Иначе говоря, справедливо соотношение

$\overrightarrow{P}=const.$

Таким образом, следует вывод: Шаблон:Quotation Данное утверждение составляет содержание закона сохранения количества движения системы.

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. Тогда равно нулю и изменение проекции количества движения системы на это направление, то есть, как говорят, сохраняется количество движения в этом направлении.

Случай системы с идеальными стационарными связями

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении количества движения системы с идеальными стационарными связями утверждает: Шаблон:Quotation

«Активные» применительно к силам (ниже они помечены символом $a^{}$ в формулах) означает «не являющиеся реакциями связей».

Действительно, по условию, в любой момент все точки системы допускают смещение на $\delta x$ параллельно неподвижной оси $x$. Заменяя в общем уравнении динамики $\delta {\overrightarrow{r}}_k$ на $\overrightarrow{i}\delta x$, получаем:

$(\sum m_k{\overrightarrow{w}}_k)\overrightarrow{i}\delta x=(\sum {\overrightarrow{F}}_k)\overrightarrow{i}\delta x$

или

$\frac{d}{dt}(\sum m_k{\overrightarrow{v}}_k)\overrightarrow{i}=(\sum {\overrightarrow{F}}_k)\overrightarrow{i}$

или

$\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}\overrightarrow{i}=(\sum {\overrightarrow{F}}_k^a)\overrightarrow{i}$

окончательно находим:

$\frac{d\overrightarrow{P}}{dt}=\sum {\overrightarrow{F}}_{kx}^{ea}$

В предпоследнем уравнении в сумму активных сил ${\overrightarrow{F}}_k^a$ включены внешние активные и внутренние активные силы. Однако геометрическая сумма внутренних активных сил, как попарно равных и противоположных, равна нулю, поэтому в окончательном уравнении представлены только внешние (введён добавочный значок $e^{}$ от Шаблон:Lang-en) активные силы.

История

О законе сохранения количества движения Исаак Ньютон в своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году, писал: «Количество движения, получаемое беря сумму количеств движения, когда они совершаются в одну сторону, и разность, когда они совершаются в стороны противоположные, не изменяется от взаимодействия тел между собою». Комментатор, в связи с этой формулировкой, отмечает, что, хотя в ней рассматривается только случай движения тел по одной прямой, И. Ньютон, как показывают его другие высказывания в той же книге, в своих воззрениях этим частным случаем не ограничивался.

См. также

• Теорема о движении центра масс системы
• Теорема о кинетической энергии системы
• Теорема об изменении кинетического момента системы