Случайный процесс

Компьютерная реализация на поверхности сферы. Винеровский процесс считается наиболее изученным и центральным стохастическим процессом в теории вероятностей.

Случа́йный проце́сс (вероятностный процесс, случайная функция, стохастический процесс) в теории вероятностей — семейство случайных величин, индексированных некоторым параметром, чаще всего играющим роль времени или координаты.

Определение

Пусть $(E,𝔅)$ — измеримое пространство, $T$ множество значений параметра $t$. Функция $\xi =\xi (t)$ параметра $t\in T$, значениями которой являются случайные величины $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ на пространстве элементарных событий $(\mathrm{\Omega },𝔄,\mathbb{P})$ в фазовом пространстве $(E,𝔅)$, называется случайным процессом в фазовом пространстве $(E,𝔅)$.

Терминология

Используемые в области исследований и прикладного применения случайных процессов классификация и терминология являются нестрогими. В частности, термин «случайный процесс» часто используется как безусловный синоним термина «случайная функция». В зависимости от вида множества $T$ часто применяются следующие термины.

• Если $T\subset ℝ$, то параметр $t\in T$ может интерпретироваться как время. Тогда случайная функция $\{X_t\}$ называется случайным процессом. Если множество $T$ дискретно, например $T\subset \mathbb{N}$, то такой случайный процесс называется случа́йной после́довательностью.

• Если $T\subset {ℝ}^n$, где $n⩾1$, то параметр $t\in T$ может интерпретироваться как точка в пространстве, и тогда случайную функцию называют случа́йным по́лем.

Основные сведения

Шаблон:Основной источник Всевозможные совместные распределения вероятностей значений $\xi (t_1),...,\xi (t_n),t_1,...,t_n\in T$:

$P_{t_1},...{,}_{t_n}(B_1,...B_n)=P\{\xi (t_1)\in B_1,...,\xi (t_n)\in B_n\}(B_1,...B_n\in 𝔅)$

называются конечномерными распределениями вероятностей случайного процесса $\xi =\xi (t)$.
Случайные процессы $\xi =\xi (t)$ и $\eta =\eta (t)$, принимающие значение в фазовом пространстве $(E,𝔅)$ называются эквивалентными, если при любом $t\in T$ эквивалентны соответствующие значения $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ и $\eta (t)=\eta (\omega ,t)$.

При каждом фиксированном $\omega \in \mathrm{\Omega }$ функция $\xi (t)=\xi (\omega ,t)$ параметра $t$ со значениями в фазовом пространстве $(E,𝔅)$ называется Шаблон:Видимый якорь или Шаблон:Видимый якорь случайного процесса $\xi =\xi (t)$. Случайный процесс $\xi =\xi (t)$ называется непосредственно заданным, если каждый элементарный исход описывается соответствующей траекторией $x=x(t)$ в функциональном пространстве $E=E^T$ всех функций на множестве $T$ со значениями в фазовом пространстве $(E,𝔅)$ ; точнее, если $\mathrm{\Omega }=X$ и $\sigma$-алгебра $𝔄$ порождается всевозможными цилиндрическими множествами $x(t_1)\in B_1,...,x(t_n)\in B_n$, где $t_1,...,t_n\in T$ и $B_1,...B_n\in 𝔅$, а значения $\xi (t)=\xi (x,t)$ имеют вид $\xi (x,t)=x(t)$, $x\in X$. Любому случайному процессу можно поставить в соответствие непосредственно заданный случайный процесс с теми же самыми конечномерный распределениями. Для каждого согласованного семейства конечномерных распределений вероятностей $P_{t_1},...{,}_{t_n}(B_1,...B_n)$ ($t_1,...,t_n\in T,B_1,...B_n\in 𝔅)$ таких, что $P_t=P_t(B),t\in T$, являются плотными мерами в фазовом топологическом пространстве $(E,𝔅)$, существует непосредственно заданный случайный процесс $\xi =\xi (t)$ с такими же конечномерными распределениями вероятностей.

Ковариационная функция. Пусть $\xi =\xi (t)$ действительный или комплексный случайный процесс на множестве $T$, имеющий вторые моменты: $E|\xi (t){|}^2<\mathrm{\infty }$. Значения случайного процесса $\xi =\xi (t)$ можно рассматривать как элементы гильбертова пространства $L^2(\mathrm{\Omega })$ — пространства всех случайных величин $\eta$, $E|\eta (t){|}^2<\mathrm{\infty }$, со скалярным произведением

$({\eta }_1,{\eta }_2)=E{\eta }_1{\bar{\eta }}_2$.

Важнейшими характеристиками такого случайного процесса $\xi (t)$ являются его математическое ожидание

$A(t)=E\xi (t)=(\xi (t),1)$

и ковариационная функция

$B(s,t)=E\xi (s)\overline{\xi (t)}=(\xi (s),\xi (t))$.

Вместо ковариационной функции может применятся корреляционная функция $B(s,t)=E\xi (s)\overline{\xi (t)}-A(s)\overline{A(t)}$, являющуюся ковариационной функцией процесса $\xi (t)-A(t)$ с нулевым математическим ожиданием.
При равенстве аргументов ($s=t$) корреляционная функция равна дисперсии случайного процесса

$B(s,s)=E(\xi (s)-A(s))(\overline{\xi (s)-A(s)})=D(s)$.

Функция $B(s,t)$ двух переменных $s$ и $t$ является ковариационной функцией некоторого случайного процесса $\xi (t)$, $E|\xi (t){|}^2<\mathrm{\infty }$, тогда и только тогда, когда она для всех $n=1,2,...$ удовлетворяет следующему условию положительной определённости:

$\sum _{k=1}^n\sum _{j=1}^{n}B(t_k,t_j)c_k\overline{c_j}⩾0$

для любых $t_1,t_2,...t_n\in T$ и любых комплексных чисел $c_1,c_2...,c_n$.

Классификация

• Случайный процесс $X(t)$ называется процессом дискретным во времени, если система, в которой он протекает, меняет свои состояния только в моменты времени $t_1,t_2,\dots$, число которых конечно или счётно. Случайный процесс называется процессом с непрерывным временем, если переход из состояния в состояние может происходить в любой момент времени.
• Случайный процесс называется процессом с непрерывными состояниями, если значением случайного процесса является непрерывная случайная величина. Случайный процесс называется случайным процессом с дискретными состояниями, если значением случайного процесса является дискретная случайная величина:
• Случайный процесс называется стационарным, если все многомерные законы распределения зависят только от взаимного расположения моментов времени $t_1,t_2,\dots ,t_n$, но не от самих значений этих величин. Другими словами, случайный процесс называется стационарным, если его вероятностные закономерности неизменны во времени. В противном случае, он называется нестационарным.
• Случайная функция называется стационарной в широком смысле, если её математическое ожидание и дисперсия постоянны, а АКФ зависит только от разности моментов времени, для которых взяты ординаты случайной функции. Понятие ввёл А. Я. Хинчин.
• Случайный процесс называется процессом со стационарными приращениями определённого порядка, если вероятностные закономерности такого приращения неизменны во времени. Такие процессы были рассмотрены Ягломом.
• Если ординаты случайной функции подчиняются нормальному закону распределения, то и сама функция называется нормальной.
• Случайные функции, закон распределения ординат которых в будущий момент времени полностью определяется значением ординаты процесса в настоящий момент времени и не зависит от значений ординат процесса в предыдущие моменты времени, называются марковскими.
• Случайный процесс называется процессом с независимыми приращениями, если для любого набора $t_1,t_2,\dots ,t_n$, где $n>2$, а $t_1<t_2<\dots <t_n$, случайные величины $(X_{t_2}-X_{t_1})$, $(X_{t_3}-X_{t_2})$, $\dots$, $(X_{t_n}-X_{t_{n-1}})$ независимы в совокупности.
• Если при определении моментных функций стационарного случайного процесса операцию усреднения по статистическому ансамблю можно заменить усреднением по времени, то такой стационарный случайный процесс называется эргодическим.
• Среди случайных процессов выделяют импульсные случайные процессы.
• Ветвящийся случайный процесс может описывать явления, связанные с размножением, делением или превращениями объектов.

Примеры

• $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$, где $X_i\sim \mathrm{N}(0,1)$ называется стандартной гауссовской (нормальной) случайной последовательностью.
• Пусть $f:ℝ\to ℝ$, и $Y$ — случайная величина. Тогда $X_t(\omega )=f(t)\cdot Y(\omega )$ является случайным процессом.
• Пусть $\{{\xi }_n,n\in \mathbb{N}\}$ — н.о.р.с.в., неотрицательные и невырожденные ($=const$ п.н.). $S_0:=0,S_n:={\xi }_1+\dots +{\xi }_n$. Тогда процесс $X_t=\sup \{n:S_n\le t\},t\ge 0$ называется процессом восстановления, построенным по $\{{\xi }_n,n\in \mathbb{N}\}$.

См. также

• Случайная величина
• Цепь Маркова
• Марковский процесс
• Немарковский процесс

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Натан А. А., Горбачёв О. Г., Гуз С. А. Основы теории случайных процессов : учеб. пособие по курсу «Случайные процессы» — М.: МЗ Пресс — МФТИ, 2003. — 168 с. ISBN 5-94073-055-8.
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга