Измеримое пространство

Измеримое пространство — это пара $(X,𝔄)$, где $X$ — множество, а $𝔄$ — некоторая $\sigma$-алгебра его подмножеств.

Основные сведения

Шаблон:Основной источник Под измеримым топологическим пространством понимается измеримое пространство $(X,𝔄)$, в котором выбрана $\sigma$ — алгебра $𝔄$, порождённая некоторой базой множеств топологического пространства X. Минимальная $\sigma$ — алгебра, содержащая все открытые множества, называется борелевской $\sigma$ — алгеброй пространства X; при этом множества $A\in 𝔄$ называются борелевскими.

Измеримое пространство $(X,𝔄)$ называется сепарабельным, если существует некоторая счётная система множеств $ℭ$, отделяющая точки пространства $X$ и порождающая соответствующую $\sigma$ — алгебру $𝔄$. Говорят, что система множеств $ℭ$, отделяет точки пространства $X$, если для любых $x_1,x_2\in X$ найдутся непересекающиеся множества $A_1,A_2\in ℭ$ такие, что $x_1\in A_1,x_2\in A_2$.

Произведением измеримых пространств $(X_1,{𝔄}_1)$ и $(X_2,{𝔄}_2)$ называется измеримое пространство $(X,𝔄)$, $X=X_1\times X_2$, в котором $\sigma$ — алгебра $𝔄$, порождена произведением $\sigma$ — алгебр ${𝔄}_1$ и ${𝔄}_2$, то есть $𝔄$ порождается полукольцом ${𝔄}_1\times {𝔄}_2$ всевозможных прямоугольных множеств вида $A_1\times A_2$, где $A_1\in {𝔄}_1$, $A_2\in {𝔄}_2$.

Пусть $(E,𝔅)$ — некоторое измеримое пространство, а $T$— конечное множество индексов $t=1,...,n.$. Измеримое пространство $(X,𝔄)$, где $X=E^T$ является $n$- кратным произведением пространства само на себя, а $\sigma$ — алгебра $𝔄={𝔅}^T$ есть $n$- кратное произведение соответствующих $\sigma$ — алгебр $𝔅$, называется измеримым координатным пространством. Точки $x=x(1),...,x(n)$ этого пространства $X=E^T$ задаются координатами $x(t),t\in T$. Если $T$ произвольное множество, то координатное пространство $X=E^T$ определяется как совокупность всех функций $x=x(t)$ на множестве $T$ со значениями в пространстве $E$ (отдельные значения $x(t)$ можно интерпретировать как координаты точки $x=x(t)$, принадлежащей пространству $X=E^T$).

Пусть $t_1,...,t_n$ — произвольные точки множества $T$, где $n$- конечное число, и $B_1,...,B_n$ — произвольные подмножества пространства $E$. Множество вида

$x(t_1)\in B_1,...,x(t_n)\in B_n$,

принадлежащие пространству $X$, называется цилиндрическим множеством в $X=E^T$. Другими словами, цилиндрическое множество состоит из тех и только тех точек $x=x(t)$, координаты которых $x(t_1),...,x(t_n)$ входит в соответствующие множества $B_1,...,B_n$. Система всех цилиндрических множеств, для которых $B_1,...,B_n$ входят в $\sigma$ — алгебру $𝔅$ пространства $E$, представляют собой полукольцо ${𝔅}^T$. Измеримым координатным пространством$(X,𝔄)$ называется пространство $X=E^T$ с $\sigma$ — алгеброй $𝔄$, порождённой полукольцом ${𝔅}^T$.

Пусть $𝔄(S)$, $S\subseteq T$ — $\sigma$ — алгебра, порождённая полукольцом ${𝔅}^S$ всевозможных цилиндрических множеств с произвольными индексами $t_1,...,t_n\in S$. Если точка $x^{\prime }=x^{\prime }(t)$ пространства $X=E^T$ входит во множество $A$ из $𝔄(S)$ и другая точка $x^{″}=x^{″}(t)$ такова, что соответствующие координаты этих точек совпадают: $x^{\prime }(t)=x^{″}(t)$ при всех $t\in S$, то $x^{″}=x^{″}(t)$ также входит в $A$. Всякое множество A из $\sigma$ — алгебры $𝔄=𝔄(T)$ принадлежит одновременно некоторой $\sigma$ — алгебры $𝔄=𝔄(S)$, где $S$- некоторое счётное множество (зависящее, вообще говоря, от рассматриваемого множества S).

Пусть $\varphi =\varphi (x)$ — функция на измеримом пространстве $(X,𝔄)$ со значениями в произвольном пространстве $Y$. Совокупность ${𝔅}_{\varphi }$ всех множеств $B\subseteq Y$ таких, что прообразы $\{\varphi \in B\}={\varphi }^{-1}(B)$ входят в $\sigma$-алгебру $𝔄$ пространства $(X,𝔄)$ является $\sigma$-алгеброй.

Пусть $X$ произвольное пространство и $\varphi =\varphi (x)$ — функция на $X$ со значениями в измеримом пространстве $(Y,𝔅)$. Совокупность ${𝔄}^{\varphi }$ всех множеств $A\subseteq X$ являющихся прообразами $B$ из $\sigma$ — алгебры $𝔅$: $A=\{\varphi \in B\}$ является $\sigma$-алгеброй.

Пусть $(X,𝔄)$, $(Y,𝔅)$ — измеримые пространства. Функция $\varphi =\varphi (x)$ называется ($𝔄,𝔅$) измеримой, если для $B\in 𝔅$ прообраз $A=\{\varphi \in B\}$ входит в $\sigma$-алгебру $𝔄$. Если $ℭ$ некоторая система множеств, порождающая $\sigma$-алгебру $𝔅$, то функция $\varphi$ является измеримой тогда, и только тогда, когда для любого $B\in ℭ$ прообраз $\{\varphi \in B\}$ входит в $𝔄$.