Измеримая функция

Измери́мые функции представляют естественный класс функций, связывающих пространства с выделенными алгебрами множеств, в частности измеримыми пространствами.

Определение

Пусть $(X,ℱ)$ и $(Y,𝒢)$ — два множества с выделенными алгебрами подмножеств. Тогда функция $f:X\to Y$ называется $ℱ/𝒢$-измеримой, или просто измеримой, если прообраз любого множества из $𝒢$ принадлежит $ℱ$, то есть $$\mathrm{\forall }B\in 𝒢,\{x:f(x)\in B\}\in ℱ.$$

Замечания

• Если $X$ и $Y$ — топологические пространства, и алгебры $ℱ$ и $𝒢$ явно не указаны, то предполагается, что это борелевские σ-алгебры соответствующих пространств.
• Смысл данного определения в том, что если на множестве $X$ задана мера, то данная функция индуцирует (передаёт) эту меру и на множество $Y$.

Вещественнозначные измеримые функции

Пусть дана функция $f:(X,ℱ)\to (ℝ,ℬ(ℝ))$. Тогда данное выше определение измеримости эквивалентно любому из нижеследующих:

• Функция $f$ измерима, если

  $\mathrm{\forall }c\in ℝ,\{x\in X\mid f(x)>c\}\in ℱ$.

• Функция $f$ измерима, если

  $\mathrm{\forall }a,b\in ℝ$, таких что $a\le b$, имеем $\{x\in X\mid f(x)\in ⟨a,b⟩\}\in ℱ$,

где $⟨a,b⟩$ обозначает любой интервал, открытый, полуоткрытый или замкнутый.

Связанные определения

• Пусть $(X,ℱ)=(ℝ,ℬ(ℝ))$ и $(Y,𝒢)=(ℝ,ℬ(ℝ))$ — две копии вещественной прямой вместе с её борелевской σ-алгеброй. Тогда измеримая функция $f:(ℝ,ℬ(ℝ))\to (ℝ,ℬ(ℝ))$ называется борелевской.
• Измеримая функция $f:(\mathrm{\Omega },ℱ)\to (Y,𝒢)$, где $\mathrm{\Omega }$ — множество элементарных исходов, а $ℱ$ — σ-алгебра случайных событий, называется случайным элементом. Частным случаем случайного элемента является случайная величина, для которой $(Y,𝒢)=(ℝ,ℬ(ℝ))$.

Примеры

• Пусть $f:ℝ\to ℝ$ — непрерывная функция. Тогда она измерима относительно борелевской σ-алгебры на числовой прямой.
• Пусть $f:(X,ℱ)\to (ℝ,ℬ(ℝ)),$ и $f(x)={\mathrm{𝟏}}_A(x),x\in X$ — индикатор множества $A\in ̸ℱ.$ Тогда функция $f$ не является измеримой.

Свойства

• Теорема Лузина. Функция $f:ℝ\to ℝ$ измерима тогда и только тогда, когда для любого $\epsilon >0$ существует непрерывная функция $h:ℝ\to ℝ$ отличающаяся от $f$ на множестве меры не больше $\epsilon$.

История

В 1901 году французский математик А. Лебег, на основе построенной им теории интеграла Лебега, поставил задачу: найти класс функций, более широкий, чем аналитические, однако при этом допускающий применение к нему многих аналитических методов. К этому времени уже существовала общая теория меры, разработанная Э. Борелем (1898), и первые работы Лебега опирались на борелевскую теорию. В диссертации Лебега (1902) теория меры была обобщена до так называемой меры Лебега. Лебег определил понятия измеримых множеств, ограниченных измеримых функций и интегралов для них, доказал, что все «обычные» ограниченные функции, исследуемые в анализе, измеримы, и что класс измеримых функций замкнут относительно основных аналитических операций, включая операцию предельного перехода. В 1904 году Лебег обобщил свою теорию, сняв условие ограниченности функции.

Исследования Лебега нашли широкий научный отклик, их продолжили и развили многие математики: Э Борель, М. Рис, Дж. Витали, М. Р. Фреше, Н. Н. Лузин, Д. Ф. Егоров и др. Было введено понятие сходимости по мере (1909), глубоко исследованы топологические свойства класса измеримых функций.

Труды Лебега имели ещё одно важное концептуальное значение: они были полностью основаны на спорной в те годы канторовской теории множеств, и плодотворность лебеговской теории послужила веским аргументом для принятия теории множеств как фундамента математики.

Литература

• Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа, 4-е изд., М.: Наука, 1976, 544 с.
• Шаблон:Статья
• Халмош П. Теория меры. М.: Издательство иностранной литературы, 1953.