Теорема Лузина

Теоре́ма Лу́зина — утверждение о необходимых и достаточных условиях измеримости функции одной вещественной или комплексной переменной. Согласно этой теореме, каждая измеримая на отрезке $[a,b]$ функция есть не что иное, как непрерывная функция, искажённая на некотором множестве сколь угодно малой меры. Это утверждение также часто называют $C$-свойством.

Формулировка

Для того, чтобы функция $f(x)$, заданная на отрезке $[a,b]$, была измерима, необходимо и достаточно, чтобы она обладала так называемым $C$-свойством: для любого $\epsilon >0$ найдётся такая функция $\phi (x)$, непрерывная на отрезке $[a,b]$, что мера множества $\{x\in [a,b]:f(x)\ne \phi (x)\}$ меньше $\epsilon$.

Доказательство

Доказательство в доступной для начинающих форме есть в книге . Кроме того, теорема Лузина несложно выводится из теоремы Егорова. В этой теореме произвольно малое число $\epsilon >0$ нельзя заменить нулём (нарушится необходимость).

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

• Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина. — Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.