Теорема Егорова

Теоре́ма Его́рова утверждает, что последовательность измеримых функций, сходящаяся почти всюду на некотором множестве, сходится равномерно на достаточно большом его подмножестве.

Формулировка

Пусть дано пространство с конечной мерой $(X,ℱ,\mu )$ так, что $\mu (X)<\mathrm{\infty }$, и определённая на нём последовательность измеримых функций $\{f_n{\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$, сходящаяся почти всюду к $f$. Тогда для любого $\epsilon >0$ существует множество $X_{\epsilon }\subset X$ такое, что $\mu (X\setminus X_{\epsilon })<\epsilon$, и последовательность $\{f_n\}$ равномерно сходится к $f$ на $X_{\epsilon }$.

В формальной записи:

$f_n{\stackrel{}{\to }}^{\text{п.в.}}f$ на $X\Rightarrow \mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }{X}_{\epsilon }\subset X:\mu X_{\epsilon }<\epsilon \wedge f_n\rightrightarrows f$ на $X\setminus X_{\epsilon }.$

Доказательство

Рассмотрим множество $R_n\left(\frac{1}{k}\right)$ всех $x$ из $X$, для которых хотя бы один член последовательности имеет номер, не меньший $n$, но в точке $x$ его разность с $f(x)$ по модулю больше $\frac{1}{k}.$ Из свойства сходимости почти всюду следует, что предел при возрастающем $n$ меры этого множества равен нулю для любого натурального $k.$

Значит, по определению предела найдутся такие номера $N_k$, что мера $R_{N_k}\left(\frac{1}{k}\right)$ меньше $\frac{1}{2^k}.$ Выберем натуральное число $ϵ$ так, что для него $2^{ϵ}>\frac{2}{\epsilon }.$ Теперь возьмём $X_{\epsilon }$ равным объединению множеств $R_{N_k}\left(\frac{1}{k}\right)$ по всем $k$, не меньшим $ϵ.$ Тогда мера $X_{\epsilon }$ в силу счётной аддитивности равна сумме мер множеств $R_{N_k}\left(\frac{1}{k}\right)$, так что верна оценка:

$\mu X_{\epsilon }=\mu \left\{\bigcup _{k=ϵ}^{\mathrm{\infty }}{R}_{N_k}\left(\frac{1}{k}\right)\right\}=\sum _{k=ϵ}^{\mathrm{\infty }}{R}_{N_k}\left(\frac{1}{k}\right)<\sum _{k=ϵ}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{2^k}=\frac{1}{2^{ϵ-1}}<\epsilon .$

В то же время дополнение $X\setminus X_{\epsilon }$ является множеством всех $x$ из $X$, которые не попали в $X_{\epsilon }$, то есть таких $x$, что для любого натурального $k$, не меньшего $ϵ$, и члена последовательности с любым номером, не меньшим $N_k$, разность этого члена в точке $x$ с $f(x)$ по модулю не больше $\frac{1}{k}.$ Значит, для любого положительного $\delta$ найдётся номер $N_k$, где натуральное $k$ одновременно больше как $ϵ$, так и $\frac{1}{\delta }$, что во всех точках множества $X\setminus X_{\epsilon }$ все следующие члены ряда по модулю отличаются от $f$ не больше, чем не $\frac{1}{k}$, а в силу выбора $k$ меньше, чем на $\delta .$ Следовательно, $f_n$ равномерно сходится к $f$ на множестве $X\setminus X_{\epsilon }$ по определению.

Замечания

• Сходимость, выводимую теоремой, часто называют почти равномерной сходимостью.
• Конечность $\mu (X)$ принципиальна. Пусть, например, $(X,ℱ,\mu )=(ℝ,ℬ(ℝ),m)$, где $ℬ(ℝ)$ — борелева σ-алгебра на $ℝ$, а $m$ — мера Лебега. Заметим, что $m(ℝ)=\mathrm{\infty }$. Пусть $f_n(x)={\mathrm{𝟏}}_{[n,n+1]}(x),x\in ℝ,n\in \mathbb{N}$, где ${\mathrm{𝟏}}_A$ обозначает индикатор-функцию множества $A$. Тогда $\{f_n\}$ сходится к нулю поточечно, но не сходится равномерно ни на каком дополнении к множеству конечной меры.

Вариации и обобщения

• Теорема Егорова естественно обобщается на случай функций со значением в Банаховом пространстве.
• Теорема Лузина

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

• Dmitri Egoroff, Sur les suites des fonctions measurables. C.R. Acad. Sci. Paris, (1911) 152:135-157.
• Богачев В. И., К истории открытия теорем Егорова и Лузина, Историко-математические исследования, вып. 48 (13), 2009.