Винеровский процесс

Винеровский процесс в теории случайных процессов — это математическая модель броуновского движения или случайного блуждания с непрерывным временем.

Определение

Случайный процесс $W_t$, где $t\ge 0$ называется винеровским процессом, если

1. $W_0=0$ почти достоверно.
2. $W_t$ — процесс с независимыми приращениями.
3. $W_t-W_s\sim \mathrm{N}(0,{\sigma }^2(t-s))$, $\mathrm{\forall }0\le s<t<\mathrm{\infty }$,

где $\mathrm{N}(0,{\sigma }^2(t-s))$ — нормальное распределение со средним $0$ и дисперсией ${\sigma }^2(t-s)$. Величину ${\sigma }^2$, постоянную для процесса, далее будем считать равной $1$.

Эквивалентное определение:

1. $W_t$ — гауссовский процесс.
2. $𝔼W_t=0$, $\mathrm{\forall }t⩾0$.
3. $\text{cov}(W_t,W_s)=\min (t,s)$, $\mathrm{\forall }t,s⩾0$.

Непрерывность траекторий

Существует единственный винеровский процесс такой, что почти все его траектории всюду непрерывны. Поскольку обычно рассматривают именно этот процесс, то часто условие непрерывности траекторий включают в определение винеровского процесса.

Свойства винеровского процесса

• $W_t$ — гауссовский процесс.
• $W_t$ — марковский процесс.
• $W_t\sim \mathrm{N}(0,t)$. Соответственно $𝔼[W_t]=0$ и $\mathrm{D}[W_t]=t$.
• $\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{v}(W_s,W_t)=\min (s,t)$.
• $W_t$ и $\exp (W(t)-t/2)$ — мартингалы. Здесь под мартингалом мы понимаем $𝔼[W_t|W_s,s⩽\tau ]=E{W}_{\tau }$
• Если $W_t$ — винеровский процесс, то $t{W}_{1/t},t>0$ и $0,t=0$, также будет винеровским.

Демонстрация масштабной инвариантности винеровского процесса $V_t=(1/\sqrt{c})W_{ct}$ при уменьшении c.

• Винеровский процесс масштабно инвариантен или самоподобен. Если $W_t$ — винеровский процесс, и $c>0$, то

$V_t=\frac{1}{\sqrt{c}}{W}_{ct}$

также является винеровским процессом.

• Корреляционная функция для производной винеровского процесса является дельта-функцией.
• Траектории винеровского процесса нигде не дифференцируемы почти наверное. Производная (в обобщённом смысле) винеровского процесса — нормальный белый шум.
• Для любого заданного отрезка траектории винеровского процесса — функции неограниченной вариации на этом отрезке почти наверное.
• Для винеровского процесса справедлив закон повторного логарифма.

$\mathrm{lim\; sup}{\mathrm{\backslash limits}}_{t\to \mathrm{\infty }}\frac{W_t}{\sqrt{2t\ln \ln t}}=1$ почти наверное.

• $\underset{0}{\overset{t}{\int }}{W}_{s}ds\sim N(0,t^3/3)$

Многомерный винеровский процесс

Многомерный ($n$-мерный) винеровский процесс ${𝐖}_t$ — это ${\mathrm{R}}^n$-значный случайный процесс, составленный из $n$ независимых одномерных винеровских процессов, то есть

${𝐖}_t={(W_t^1,\dots ,W_t^n)}^{\mathrm{\top }},t\ge 0$,

где процессы $\left\{W_t^i\right\},i=1,\dots ,n$ совместно независимы.

Связь с физическими процессами

Винеровский процесс описывает броуновское движение частицы, совершающей беспорядочные перемещения под влиянием ударов молекул жидкости. Константа ${\sigma }^2$ при этом зависит от массы частицы и вязкости жидкости.

Ссылки

• Стохастический мир — простое введение в стохастические дифференциальные уравнения

См. также

• Сосиска Винера
• Норберт Винер
• Формула Фейнмана — Каца
• Цвета шума