Процесс с независимыми приращениями

Проце́сс с незави́симыми прираще́ниями в теории случайных процессов — это обобщение понятия суммы независимых случайных величин.

Определение

Случайный процесс $\{X_t{\}}_{t\in T}$, где $T\subset [0,+\mathrm{\infty })$ называется процессом с независимыми приращениями, если для любых $t_0,t_1,\dots ,t_n\in T$ таких, что $0=t_0<t_1<\cdots <t_{n-1}<t_n$, случайные величины :$X_{t_0},X_{t_1}-X_{t_0},\dots ,X_{t_n}-X_{t_{n-1}}$ независимы.

Замечание

• Пусть $T=\mathbb{N}\cup \{0\}$. Положим $Y_n=X_n-X_{n-1},n\in \mathbb{N}$. Тогда

$X_n=\sum _{i=1}^n{Y}_i$,

и $\{Y_n{\}}_{n\ge 1}$ — независимые случайные величины.

Свойства

• Пусть $\{X_t{\}}_{t\in T}$ — случайный процесс, а ${\varphi }_{X_t-X_r}$ — характеристическая функция случайной величины $X_t-X_r$, где $t>r$. Тогда $\{X_t\}$ — процесс с независимыми приращениями тогда и только тогда, когда для любых $0\le r<s<t<\mathrm{\infty }$ и $u\in ℝ$ выполняется равенство:

${\varphi }_{X_t-X_r}(u)={\varphi }_{X_s-X_r}(u)\cdot {\varphi }_{X_t-X_s}(u)$.

• Любой процесс с независимыми приращениями является марковским. Обратное, вообще говоря, неверно.

Примеры

• Винеровский процесс;
• Пуассоновский процесс.