Мартингал

Остановленное броуновское движение как пример мартингала

Мартинга́л (также мартинге́йл в теории вероятности) в теории случайных процессов — такой случайный процесс, что наилучшим (среднеквадратичным) предсказанием поведения процесса в будущем является его настоящее состояние.

Мартингалы с дискретным временем

• Последовательность случайных величин $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ называется мартинга́лом с дискре́тным вре́менем, если

1. $𝖤|X_n|<\mathrm{\infty },n\in \mathbb{N}$;
2. $𝖤[X_{n+1}\mid X_1,\dots ,X_n]=X_n,n\in \mathbb{N}$.

• Пусть дана другая последовательность случайных величин $\{Y_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$. Тогда последовательность случайных величин $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ называется мартингалом относительно $\{Y_n\}$ или $\{Y_n\}$-мартингалом, если

1. $𝖤|X_n|<\mathrm{\infty },n\in \mathbb{N}$;
2. $𝖤[X_{n+1}\mid Y_1,\dots ,Y_n]=X_n,n\in \mathbb{N}$.

Мартингалы с непрерывным временем

Пусть есть вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ с заданной на нём фильтрацией $\{{ℱ}_t{\}}_{t\in T}$, где $T\subset ℝ$. Тогда случайный процесс $\{X_t{\}}_{t\in T}$ называется мартингалом относительно $\{{ℱ}_t\}$, если

1. $X_t$ измерима относительно ${ℱ}_t$ для любого $t\in T$.
2. $𝖤|X_t|<\mathrm{\infty },t\in T$.
3. $𝖤[X_t\mid {ℱ}_s]=X_s$ почти наверное, $\mathrm{\forall }s,t\in T,s\le t$.

Последний пункт означает, что $\underset{A}{\int }{X}_{t}dP=\underset{A}{\int }{X}_{s}dP$ $\mathrm{\forall }A\in {ℱ}_s$.

Если в качестве $\{{ℱ}_t\}$ взята естественная фильтрация ${ℱ}_t=\sigma \{X_s\mid s\le t\}$, то $\{X_t\}$ называют просто мартингалом.

Суб- и супермартингалы

• Пусть дана последовательность случайных величин $\{Y_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$. Тогда последовательность случайных величин $\{X_n{\}}_{n\in \mathbb{N}}$ называется су́б(су́пер)мартингалом относительно $\{Y_n\}$, если

1. $𝖤|X_n|<\mathrm{\infty },n\in \mathbb{N};$
2. $𝖤[X_{n+1}\mid Y_1,\dots ,Y_n]\ge (\le )X_n,n\in \mathbb{N}.$

• Случайный процесс $\{X_t{\}}_{t\in T},T\subset ℝ$ называется суб(супер)мартингалом относительно $\{{ℱ}_t\}$, если

1. $X_t$ измерима относительно ${ℱ}_t$ для любого $t\in T$.
2. $𝖤|X_t|<\mathrm{\infty },t\in T$.
3. $𝖤[X_t\mid {ℱ}_s]\ge (\le )X_s,\mathrm{\forall }s,t\in T,s\le t$.

Если в качестве $\{{ℱ}_t\}$ взята естественная фильтрация ${ℱ}_t=\sigma \{X_s\mid s\le t\}$, то $\{X_t\}$ называют просто суб(супер)мартингалом.

Свойства

• Случайный процесс является мартингалом тогда и только тогда, когда он является одновременно субмартингалом и супермартингалом.
• Если $\{X_t\}$ — мартингал, то $𝖤X_t=\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$.
• Если $\{X_t\}$ — субмартингал, то $\{-X_t\}$ — супермартингал.
• Если $\{X_t\}$ является мартингалом, а $f:ℝ\to ℝ$ — выпуклая функция, то $\{f(X_t)\}$ — субмартингал. Если $f$ — вогнутая функция, то $\{f(X_t)\}$ — супермартингал.
• Вообще говоря, мартингал не является марковским процессом.
  • Верно и обратное: марковский процесс не обязан быть мартингалом.
• Верна Шаблон:Iw о сходимости мартингалов.
• Теорема Дуба об остановке приводит условия, гарантирующие, что матожидаемое мартингала в момент остановки равно его начальному ожидаемому значению.

Примеры

• Рассмотрим игру, при которой подбрасывается монета, и при выпадении «орла» игрок выигрывает 1 руб., а при выпадении «решки» проигрывает 1 руб. Тогда:
  • если монета уравновешена, то состояние игрока как функция количества игр является мартингалом;
  • если выпадение «орла» более вероятно, то состояние игрока — субмартингал;
  • если выпадение «решки» более вероятно, то состояние игрока — супермартингал.

• Винеровский процесс (это математическая модель броуновского движения) является мартингалом.

Примечания

Шаблон:Вс