Теорема Дуба об остановке

Теорема Дуба об остановке приводит условия, гарантирующие, что матожидание мартингала в момент остановки равно его начальному ожидаемому значению.

Терема является важным инструментом финансовой математики. Названа в честь Джозефа Дуба — американского специалиста по теории вероятностей .

Формулировка

Ниже приведена версия теоремы для дискретного времени. Пусть ${\mathbb{N}}_0$ обозначает множество натуральных целых чисел.

Пусть $X=(X_t{)}_{t\in {\mathbb{N}}_0}$ — мартингал с дискретным временем, а Шаблон:Math — время остановки со значениями в ${\mathbb{N}}_0\cup \{\mathrm{\infty }\}$ относительно фильтрации Шаблон:Math. Предположим, что выполняется одно из следующих трех условий:

( a ) Время остановки Шаблон:Math почти наверняка ограничено, то есть существует константа Шаблон:Math такой, что Шаблон:Math почти наверняка

( b ) Время остановки Шаблон:Math имеет конечное матожидание, а условные математические ожидания абсолютного значения приращений мартингала почти наверняка ограничены, точнее, $𝔼[\tau ]<\mathrm{\infty }$ и существует константа Шаблон:Math такая, что $𝔼[|X_{t+1}-X_t||{ℱ}_t]\le c$ почти наверное на событии Шаблон:Math } для всех Шаблон:Math .

( c ) Существует константа Шаблон:Math такая, что Шаблон:Math для всех Шаблон:Math, где Шаблон:Math обозначает минимальный оператор .

Тогда Шаблон:Math — почти хорошо определенная случайная величина и $𝔼[X_{\tau }]=𝔼[X_0].$

Замечания

Аналогично, если стохастический процесс Шаблон:Math является субмартингалом или супермартингалом и выполняется одно из вышеуказанных условий, тогда

$𝔼[X_{\tau }]\ge 𝔼[X_0],$

для субмартингала и

$𝔼[X_{\tau }]\le 𝔼[X_0],$

для супермартингейла.

Примеры

Мартингалы применяются в моделировании выйгрыша в честной игре, и теорема в частности говорит, что в среднем нельзя выиграть, остановив игру на основе информации, доступной на данный момент.

• Предположим, что игрок может поставить до 1 рублю на честное подбрасывание монеты в моменты 1, 2, 3 и т. д., выигрывая свою ставку, если выпадет орёл, и проигрывая, если выпадет решка. Предположим, что он решил выйти из игры после выпадания десяти орлов подряд. Тогда его средний выйгрыш будет равен нулю.

• Необходимо позаботиться о том, чтобы одно из условий теоремы выполнялось. Например, предположим, что в рассмотренном примере остановка происходила только при выйгрыше 1 рубля. Значение Шаблон:Math в этот момент остановки будет, следовательно, Шаблон:Math. Следовательно, ожидаемое значение Шаблон:Math также должно быть Шаблон:Math, что, по-видимому, противоречит теореме, которая дала бы Шаблон:Math. Невыполнение теоремы показывает, что ни одно из трёх условий не выполняется.