Марковский момент времени

Марковский момент времени (в теории случайных процессов) — это случайная величина, не зависящая от будущего рассматриваемого случайного процесса.

Дискретный случай

Пусть дана последовательность случайных величин $\{Y_n{\}}_{n\ge 0}$. Тогда случайная величина $\tau$ называется марковским моментом (времени), если для любого $n\ge 0$ событие $\{\tau \le n\}$ зависит только от случайных величин $Y_0,\dots ,Y_n$.

Пример

Пусть $\{Y_n{\}}_{n\ge 0}$ — последовательность независимых нормальных случайных величин. Пусть $L\in ℝ$, и

$\tau =\inf \{n\ge 0\mid Y_n\ge L\}$

— момент первого достижения процессом $\{Y_n\}$ уровня $L$. Тогда $\tau$ — марковский момент, ибо $\tau \le n$ тогда и только тогда, когда существует $i\in \mathbb{N},0\le i\le n$ такое, что $Y_i\ge L$. Таким образом событие $\{\tau \le n\}$ зависит лишь от поведения процесса до момента времени $n$.

Пусть теперь

$\sigma =\sup \{n\ge 0\mid Y_n\ge L\}$

— момент последнего достижения процессом $\{Y_n\}$ уровня $L$. Тогда $\sigma$ не является марковским моментом, ибо событие $\{\sigma \le n\}$ предполагает знание поведения процесса в будущем.

Общий случай

• Пусть дано вероятностное пространство $(\mathrm{\Omega },ℱ,\mathbb{P})$ с фильтрацией $\{{ℱ}_t{\}}_{t\in T}$, где $T\subset [0,\mathrm{\infty })$. Тогда случайная величина $\tau$ принимающая значения в $T\cup \{\mathrm{\infty }\}$ называется марковским моментом относительно данной фильтрации, если $\{\tau \le t\}\in {ℱ}_t,\mathrm{\forall }t\in T$.

• Если дан процесс $\{X_t{\}}_{t\in T}$, и ${ℱ}_t=\sigma (X_s\mid s\le t)$ — его естественные σ-алгебры, то говорят, что $\tau$ — марковский момент относительно процесса $\{X_t\}$.

• Марковский момент называется моментом остановки, если он конечен почти наверное, то есть

$\mathbb{P}(\tau <\mathrm{\infty })=1$.

Свойства

Если $\tau$ и $\sigma$ — марковские моменты, то

• $\tau +\sigma$ — марковский момент;
• $\tau \wedge \sigma \equiv \min (\tau ,\sigma )$ — марковский момент;
• $\tau \vee \sigma \equiv \max (\tau ,\sigma )$ — марковский момент.

Замечание: момент остановки может не иметь конечного математического ожидания.

Пример

Пусть $\{W_t{\}}_{t\ge 0}$ — стандартный винеровский процесс. Пусть $\alpha >0$. Определим

$\tau =\inf \{t\ge 0\mid W_t\ge \alpha \}$.

Тогда $\tau$ — марковский момент, имеющий распределение, задаваемое плотностью вероятности

$f_{\tau }(t)=\frac{\alpha }{\sqrt{2\pi t^3}}{e}^{-\frac{{\alpha }^2}{2t}},t\ge 0$.

В частности $\tau$ — момент остановки. Однако,

$𝔼\tau =\mathrm{\infty }$.