Соотношение Эйнштейна

В физике (главным образом в молекулярно-кинетической теории) соотношением Эйнштейна (также называемое соотношением Эйнштейна — Смолуховского) называется выражение, связывающее подвижность молекулы (молекулярный параметр) с коэффициентом диффузии и температурой (макропараметры). Оно было независимо открыто Альбертом Эйнштейном в 1905 году и Марианом Смолуховским (1906) в ходе работ по изучению броуновского движения:

$D={\mu }_p{k}_{B}T,$

где $D$ — коэффициент диффузии, ${\mu }_p$ — подвижность частиц, $k_B$ — постоянная Больцмана, а $T$ — абсолютная температура.

Величина подвижности ${\mu }_p$ определяется из соотношения

${\mu }_p=V/F,$

где $V$ — стационарная скорость перемещения частицы в вязкой среде под действием силы $F$.

Это уравнение является частным следствием флуктуационно-диссипационной теоремы.

Формула Стокса — Эйнштейна

Величина подвижности не всегда легко определяется, поэтому если предположить, что числа Рейнольдса малы, то для силы сопротивления, испытываемой макроскопическим шариком (частицей), можно использовать формулу Стокса

$F=6\pi \eta rV,$

где $\eta$ — вязкость жидкости, $r$ — радиус частицы.

Таким образом, получается выражение:

$D=\frac{k_{B}T}{6\pi \eta r},$

называемое соотношением (формулой) Стокса — Эйнштейна.

Следует заметить, что использование макроскопического приближения для описания молекулярных характеристик движения даёт лишь оценочные результаты. В практических приложениях иногда используют коэффициент 4 вместо 6. Часто также предполагают, что характерная для микроскопических движений вязкость ниже, чем вязкость, измеренная в макроскопических экспериментах. Тем не менее формула Стокса — Эйнштейна даёт верные по порядку величины оценки коэффициента диффузии.

Для величины коэффициента вращательной диффузии выражение выглядит следующим образом:

$D_{\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{t}}=\frac{k_{B}T}{8\pi \eta r^3}.$

См. также

• Уравнение Ланжевена