Молекулярно-кинетическая теория

Молекуля́рно-кинети́ческая тео́рия (МКТ) — физическая теория, созданная в XIX в., рассматривающая строение вещества, в основном газов, с точки зрения трёх основных приближённо верных положений:

Движение молекул идеального газа (показаны два сорта молекул) в сосуде. Температура определяется средней кинетической энергией молекул.

• все тела состоят из частиц: атомов, молекул и ионов;
• частицы находятся в непрерывном хаотическом движении (тепловом);
• частицы взаимодействуют друг с другом путём абсолютно упругих столкновений.

МКТ стала одной из самых успешных физических теорий и была подтверждена многочисленными опытными фактами. Главным доказательством состоятельности МКТ явилось объяснение на её основе таких явлений как диффузия, броуновское движение и изменение агрегатных состояний вещества.

На базе МКТ развит ряд разделов современной физики, в частности, физическая кинетика и статистическая механика. В этих разделах изучаются не только молекулярные (атомные или ионные) системы, находящиеся не только в «тепловом» движении, и взаимодействующие не только через абсолютно упругие столкновения. Термин же молекулярно-кинетическая теория в современной теоретической физике уже практически не используется, хотя он встречается в учебниках по курсу общей физики.

История теории

Началом становления МКТ послужила теория М. В. Ломоносова. Ломоносов опытным путём опроверг теории о теплороде и флогистоне, подготовив тем самым молекулярно-кинетическую теорию XIX века Рудольфа Клаузиуса, Людвига Больцмана и Джеймса Максвелла.

Основное уравнение МКТ

Основное уравнение МКТ имеет вид

$P=\frac{1}{3}mn\overline{v^2}$.

Оно связывает макроскопические параметры (такие как давление $P$, объём $V$, температура $T$) газа с микроскопическими (масса частиц, средняя скорость их движения). В приведённой формуле $m$ — масса одной молекулы газа, $n$ (м^-3) — концентрация молекул, $\overline{v^2}$ — средний квадрат скорости молекул. Уравнение может быть переписано так, чтобы $V$ и $T$ в него входили явно.

Релятивистское выражение для этой формулы

$P=\frac{2\rho c^2}{3}((1-\overline{v^2}/c^2{)}^{-1/2}-1)$,

где $\rho =mn$ — плотность движущегося вещества, $c$ — скорость света. В пределе малых скоростей выражение превращается в $P\approx \rho \overline{v^2}/3$.

Вывод основного уравнения

Пусть имеется кубический сосуд с ребром длиной $L$ и одна частица массой $m$ в нём. Введя координатные оси так, чтобы они были параллельны рёбрам куба, рассмотрим движение частицы вдоль оси $x$ и соударения с одной из граней (стенок), параллельных плоскости $yz$.

Обозначим компоненту скорости движения вдоль оси $x$ через $v_x$. Модуль этой компоненты неизменен всё время, но знак меняется при соударениях со стенкой. $x$-составляющая импульса частицы до её столкновения со стенкой равна $m{v}_x$, а после столкновения $-m{v}_x$, поэтому стенке передаётся импульс

$\mathrm{\Delta }p=2m|v_x|$.

Время, через которое частица сталкивается с одной и той же стенкой:

$\mathrm{\Delta }t=\frac{2L}{|v_x|}$.

Сила, действующая со стороны частицы на стенку, равна нулю всё время, кроме момента удара, в модели считаемого бесконечно коротким, когда эта сила бесконечна. Поэтому можно говорить не о «мгновенной», а об эффективной силе:

$F=\frac{\mathrm{\Delta }p}{\mathrm{\Delta }t}=\frac{m{v}_x^2}{L}$.

Если в сосуде не одна, а $N$ не взаимодействующих между собой частиц, то сила будет суммироваться по всем частицам. При этом, по-прежнему, модуль $x$-проекции скорости отдельной частицы неизменен, но для разных частиц различен. Соответственно, появляется усреднение квадрата проекции скорости:

$F_{\mathrm{\Sigma }}=F_1+F_2+\dots +F_N=\frac{Nm\overline{v_x^2}}{L}$.

Скорость частицы состоит из трёх компонент, и из теоремы Пифагора $v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2$. Это равенство можно усреднить по всем частицам:

$\overline{v^2}=\overline{v_x^2}+\overline{v_y^2}+\overline{v_z^2}$,

причём, ввиду эквивалентности направлений, три члена в правой части обязаны быть одинаковыми. В результате

$\overline{v_x^2}=\frac{1}{3}\overline{v^2}$,

после чего получается

$F_{\mathrm{\Sigma }}=\frac{Nm\overline{v^2}}{3L}$.

Если учесть, что давление есть сила на единицу площади, а $S=L^2$, имеем

$P=\frac{F_{\mathrm{\Sigma }}}{S}=\frac{Nm\overline{v^2}}{3L^3}=\frac{Nm\overline{v^2}}{3V}$,

где $V$ — объём рассмотренного кубического сосуда. Это и есть основное уравнение МКТ, поскольку $N/V=n$.

Температура в уравнении МКТ

Кинетическая энергия движения $N$ молекул газа может быть записана как

$K_{\mathrm{\Sigma }}=N\frac{1}{2}m\overline{v^2}=N\overline{\frac{m{v}^2}{2}}=N\bar{K}$,

где через $K$ обозначена кинетическая энергия одной частицы. В этих обозначениях основное уравнение МКТ переписывается в виде

$PV=\frac{2}{3}{K}_{\mathrm{\Sigma }}$.

Согласно уравнению состояния идеального газа,

$PV=N{k}_{B}T$,

где $T$ — температура. а $k_B$ — постоянная Больцмана. Из сравнения двух последних выражений видно, что

$\bar{K}=\frac{3}{2}{k}_{B}T$,

то есть что температура выступает мерой средней кинетической энергии частиц.

При потребности в формулах можно провести преобразования с использованием соотношений для количества вещества (числа молей) $\nu =N/N_A$ ($N_A$ — постоянная Авогадро) и газовой постоянной $R=N_A{k}_B$.

Средняя скорость частиц

Понятием «средняя скорость» охватывается несколько величин. Одна из средних скоростей, так называемая среднеквадратичная скорость, — это корень из среднего квадрата скорости:

$\overline{v_q}=\sqrt{\overline{v^2}}$.

Она может быть выписана на основе уравнений выше, учитывая, что там фигурировала $\overline{v^2}$, а именно:

$\overline{v_q}=\sqrt{\frac{3k_{B}T}{m}}$.

Если учесть, что $N_{A}m=M$, где $M$ — молярная масса газа, получим

$\overline{v_q}=\sqrt{\frac{3k_{B}T{N}_A}{M}}$.

Другие средние скорости (например, средний модуль скорости) не могут быть определены таким образом, для их нахождения используется распределение Максвелла.

См. также

• Физическая кинетика
• Статистическая механика
• Статистическая физика
• Распределение Максвелла

Литература

• Шаблон:ВТ-ЭСБЕ
• Гиршфельд Дж., Кертисс Ч., Берд Р. Молекулярная теория газов и жидкостей. М., 1961
• Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. Л., 1975
• Кикоин А. К., Кикоин И. К. Молекулярная физика. М., 1996