Уравнения Гамильтона

Уравне́ния Гамильто́на (также называемые каноническими уравнениями) в физике и математике — система дифференциальных уравнений:

${\dot{p}}_j=-\frac{\partial H}{\partial q_j},$

${\dot{q}}_j=\frac{\partial H}{\partial p_j},$

где точкой над $p$ и $q$ обозначена производная по времени. Система состоит из 2N дифференциальных уравнений первого порядка (j = 1, 2, …, N) для динамической системы, описываемой N (обобщёнными) координатами, являющихся уравнениями движения (одной из форм таких уравнений, наравне с уравнениями Лагранжа, являющейся обобщением ньютоновских уравнений движения) системы, где $H=H(q,p,t)\equiv H(q_1,q_2,...,q_N,p_1,p_2,...,p_N,t)$ — так называемая функция Гамильтона, также иногда именуемая гамильтонианом, $t$ — время, $q_i$ — (обобщенные) координаты $(q_1,q_2,\dots ,q_N)$ и $p_i$ — обобщенные импульсы $(p_1,p_2,\dots ,p_N)$, определяющие состояние системы (точку фазового пространства).

Уравнения Гамильтона широко используются в гамильтоновой механике и других областях теоретической физики и математики.

Ньютоновский физический смысл

Наиболее простая интерпретация этих уравнений заключается в следующем. Гамильтониан $H$ представляет в наиболее простых случаях энергию физической системы, которая есть сумма кинетической и потенциальной энергий, традиционно обозначаемых $T$ и $V$ соответственно:

$H=T+V,T=\frac{p^2}{2m},V=V(q)=V(x).$

В частном случае, если $q=X$ — декартовы координаты каждой материальной точки системы, записанные подряд по три (физическое пространство будем подразумевать здесь обычным трёхмерным), то есть

$X_1=x_1,X_2=y_1,X_3=z_1,X_4=x_2,X_5=y_2,X_6=z_2,\dots ,$

то канонические уравнения Гамильтона совпадают, учитывая предыдущий абзац, с уравнениями движения Ньютона в виде:

$\dot{\overrightarrow{P}}=-\mathrm{\nabla }V,$

$\dot{\overrightarrow{X}}=\overrightarrow{p}/m,$

где $\overrightarrow{X}=(X_1,X_2,\dots ,X_N)$, причём каждое подпространство даёт радиус-вектор соответствующей материальной точки:

${\overrightarrow{r}}_1=(X_1,X_2,X_3),{\overrightarrow{r}}_2=(X_4,X_5,X_6),\dots ,$

а обобщённые импульсы — соответствующие компоненты трёхмерных импульсов этой точки:

${\overrightarrow{p}}_1=(P_1,P_2,P_3),{\overrightarrow{p}}_2=(P_4,P_5,P_6),\dots$

Фундаментальная интерпретация

Функция Гамильтона по сути представляет собой локальный закон дисперсии, выражающий квантовую частоту (частоту колебаний волновой функции) $\omega$ через волновой вектор $𝐤$ для каждой точки пространства:

$\omega =H(𝐤,𝐱).$

В классическом приближении (при больших частотах и модуле волнового вектора и сравнительно медленной зависимости от $𝐱$) этот закон достаточно очевидно описывает движение волнового пакета через канонические уравнения Гамильтона, одни из которых (${\dot{q}}_i=\partial H/\partial p_i$) интерпретируются как формула групповой скорости, полученная из закона дисперсии, а другие (${\dot{p}}_i=-\partial H/\partial q_i$) вполне естественно — как изменение (в частности — поворот) волнового вектора при распространении волны в неоднородной среде определённого типа.

Вывод уравнений Гамильтона

Вывод из принципа стационарного действия

Из принципа наименьшего (стационарного) действия уравнения Гамильтона непосредственно получаются варьированием действия

$S=\underset{t_1}{\overset{t_2}{\int }}(\sum _i{p}_i{\dot{q}}_i-H(q,p,t))dt$

независимо по $q$ и по $p$.

Вывод из лагранжевой механики

Мы можем вывести уравнения Гамильтона, используя информацию об изменении лагранжиана при изменении времени, координат и импульсов частиц.

$\mathrm{d}L=\sum _i(\frac{\partial L}{\partial q_i}\mathrm{d}{q}_i+\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}\mathrm{d}{\dot{q}}_i)+\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t$

обобщённые импульсы определяются как $p_i=\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}$, и уравнения Лагранжа гласят:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{\partial L}{\partial {\dot{q}}_i}-\frac{\partial L}{\partial q_i}=F_i,$

где $F_i$ — непотенциальная обобщённая сила. Последнее выражение преобразуется к виду

$\frac{\partial L}{\partial q_i}={\dot{p}}_i-F_i,$

и результат подставляется в вариацию лагранжиана

$\mathrm{d}L=\sum _i[({\dot{p}}_i-F_i)\mathrm{d}{q}_i+p_i\mathrm{d}{\dot{q}}_i]+\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t.$

Можно записать:

$\mathrm{d}L=\sum _i[({\dot{p}}_i-F_i)\mathrm{d}{q}_i+\mathrm{d}\left(p_i{\dot{q}}_i\right)-{\dot{q}}_i\mathrm{d}{p}_i]+\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t$

и преобразуется к форме:

$\mathrm{d}(\sum _i{p}_i{\dot{q}}_i-L)=\sum _i[(F_i-{\dot{p}}_i)\mathrm{d}{q}_i+{\dot{q}}_i\mathrm{d}{p}_i]-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t.$

Множитель в левой части просто гамильтониан, который был определён раньше. Таким образом:

$\mathrm{d}H=\sum _i[(F_i-{\dot{p}}_i)\mathrm{d}{q}_i+{\dot{q}}_i\mathrm{d}{p}_i]-\frac{\partial L}{\partial t}\mathrm{d}t=\sum _i[\frac{\partial H}{\partial q_i}\mathrm{d}{q}_i+\frac{\partial H}{\partial p_i}\mathrm{d}{p}_i]+\frac{\partial H}{\partial t}\mathrm{d}t,$

где второе равенство выполняется в силу определения частной производной.

Обобщение посредством скобок Пуассона

Уравнения могут быть записаны в более общем виде, если использовать алгебру Пуассона над образующими $p$ и $q$. В этом случае более общая форма уравнений Гамильтона гласит:

$\frac{dA}{dt}=\{A,H\}+\frac{\partial A}{\partial t},$

где $A$, называемая классической наблюдаемой, — это некоторая функция переменных $p$, $q$ и $t$, и $H$ — гамильтониан системы. Со скобками Пуассона можно работать без обращения к дифференциальным уравнениям, поскольку скобки Пуассона полностью аналогичны скобкам Ли в алгебре Пуассона.

Этот алгебраический подход позволяет использовать распределение вероятностей для $q$ и $p$, он также позволяет найти сохраняющиеся величины (интегралы движения).

Уравнения Гамильтона являются одними из основных уравнений классической механики. В квантовой механике аналогом приведенного уравнения Гамильтона является уравнение Гейзенберга.

См. также

• Лагранжева механика
• Классическая механика
• Динамические системы
• Уравнение Гамильтона — Якоби
• Симплектическое пространство
• Симплектическое многообразие

Литература

• Вилази Г. Гамильтонова динамика. перевод с англ. М.: ИКИ и РХД, 2006. 432с. ISBN 5-93972-444-2
• Шаблон:Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Механика
• Лич Дж. У. Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
• Д. тер Хаар. Основы гамильтоновой механики. М.: Наука, 1974.
• Полак Л. С. (ред.) Вариационные принципы механики. Сборник статей классиков науки. М.: Физматгиз, 1959