Уравнение Гамильтона — Якоби

Шаблон:Другие значения термина Шаблон:Другие значения термина Шаблон:Физическая теория В физике и математике уравнением Гамильтона — Якоби называется уравнение вида

$H(q_1,\dots ,q_n;\frac{\partial S}{\partial q_1},\dots ,\frac{\partial S}{\partial q_n};t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0.$

Здесь $S$ обозначает классическое действие, $H(q_1,\dots ,q_n;p_1,\dots ,p_n;t)$ — классический гамильтониан, $q_i$ — обобщённые координаты.

Непосредственно относится к классической (неквантовой) механике, однако хорошо приспособлено для установления связи между классической механикой и квантовой, так как его можно, например, получить практически прямо из уравнения Шрёдингера в приближении быстроосциллирующей волновой функции (больших частот и волновых чисел).

В классической механике возникает обычно из специального канонического преобразования классического гамильтониана, которое приводит к этому нелинейному дифференциальному уравнению первого порядка, решение которого описывает поведение динамической системы.

Следует отличать уравнение Гамильтона — Якоби от уравнений движения Гамильтона и Эйлера — Лагранжа. Хотя это уравнение и выводится из них, оно представляет собой одно уравнение, описывающее динамику механической системы с любым количеством степеней свободы $s$, в отличие от $2s$ уравнений Гамильтона и $s$ уравнений Эйлера — Лагранжа.

Уравнение Гамильтона — Якоби помогает элегантно решить задачу Кеплера.

Каноническое преобразование

Уравнение Гамильтона — Якоби немедленно следует из того факта, что для любой производящей функции $S(q,p^{\prime },t)$ (пренебрегая индексами) уравнения движения принимают один и тот же вид для $H(q,p,t)$ и $H^{\prime }(q^{\prime },p^{\prime },t)$ при следующем преобразовании:

$\frac{\partial S}{\partial q}=p,\frac{\partial S}{\partial p^{\prime }}=q^{\prime },H^{\prime }=H+\frac{\partial S}{\partial t}.$

Новые уравнения движения становятся

$\frac{\partial H^{\prime }}{\partial q^{\prime }}=-\frac{d{p}^{\prime }}{dt},\frac{\partial H^{\prime }}{\partial p^{\prime }}=\frac{d{q}^{\prime }}{dt}.$

Уравнение Гамильтона — Якоби появляется из специфической производящей функции $S(q,p^{\prime },t)$, которая делает $H^{\prime }(q^{\prime },p^{\prime },t)$ тождественной нулю. В этом случае все его производные зануляются, и

$\frac{d{p}^{\prime }}{dt}=\frac{d{q}^{\prime }}{dt}=0.$

Таким образом, в штрихованной системе координат система совершенно стационарна в фазовом пространстве. Однако мы ещё не определили, при помощи какой производящей функции $S$ достигается преобразование в штрихованную систему координат. Мы используем тот факт, что

$H^{\prime }(q^{\prime },p^{\prime },t)=H(q,p,t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0.$

Поскольку $p=\partial S/\partial q,$ можно записать

$H(q,\frac{\partial S}{\partial q},t)+\frac{\partial S}{\partial t}=0,$

что является уравнением Гамильтона — Якоби.

Решение

Уравнение Гамильтона — Якоби часто решают методом разделения переменных. Пусть некоторая координата (для определённости будем говорить о $q_1$) и соответствующий ей импульс $\frac{\partial S}{\partial q_1}$ входят в уравнение в форме

$\frac{\partial S}{\partial t}+H(f_1(q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1}),q_2,\dots ,q_n,\frac{\partial S}{\partial q_2},\dots ,\frac{\partial S}{\partial q_n})=0.$

Тогда можно положить

$f_1(q_1,\frac{\partial S}{\partial q_1})={\alpha }_1,$

$\frac{\partial S}{\partial q_1}=g_1(q_1,{\alpha }_1),$

где ${\alpha }_1$ — произвольная постоянная, $g_1$ — обратная функция, и решать уравнение Гамильтона — Якоби уже с меньшим числом переменных. Если процесс можно продолжить по всем переменным, то решение уравнения примет вид

$S=-\int H({\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)dt+\int g_1(q_1,{\alpha }_1)d{q}_1+\int g_2(q_2,{\alpha }_1,{\alpha }_2)d{q}_2+\dots +\int g_n(q_n,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n)d{q}_n+k,$

где ${\alpha }_i$ — произвольные постоянные, $k$ — константа интегрирования. Напомним, что при этом $S$ является функцией конечной точки $(q_1,\dots ,q_n)$. Так как действие задаёт каноническое преобразование гамильтоновой системы, его производные по координатам — это импульсы в новой системе координат, поэтому они должны сохраняться:

${\beta }_i=\frac{\partial S}{\partial {\alpha }_i}(𝐪,{\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n,t).$

Совместно с уравнениями для импульсов это определяет движение системы.

Также если в голономной системе с $s$ степенями свободы кинетическая энергия имеет вид $T=\frac{1}{2}f\sum _{m=1}^s{A}_m({\dot{q}}_m^2),$ и потенциальная энергия имеет вид $\mathrm{\Pi }=\frac{1}{f}f\sum _{m=1}^s{\mathrm{\Pi }}_m(q_m),$ где $f=\sum _{m=1}^s{F}_m(q_m),$ то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них), см. Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — ЯкобиШаблон:Sfn.

См. также

• Гамильтонова механика
• Уравнения Гамильтона
• Квазиклассическое приближение
• Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана
• Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби

Литература

• Статья в Физической энциклопедии
• Гантмахер Ф. Р. Лекции по аналитической механике. 2-е издание — Шаблон:М: Наука, 1966.
• Добронравов В. В. Основы аналитической механики. — М.: Высшая школа, 1976.
• Шаблон:Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Механика
• Ланцош К. Вариационные принципы механики. — М.: Физматгиз. 1965.
• Лич Дж. У. Классическая механика. — М.: Иностр. литература, 1961.
• Павленко Ю. Г. Лекции по теоретической механике. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392 с.
• Парс Л. А. Аналитическая динамика. — М.: Наука, 1971.
• Шаблон:Книга