Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана

Уравнение Гамильтона — Якоби — Беллмана — дифференциальное уравнение в частных производных, играющее центральную роль в теории оптимального управления. Решением уравнения является функция значения (Шаблон:Lang-en), которая даёт оптимальное значение для управляемой динамической системы с заданной функцией цены.

Если уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана решаются в какой-то части пространства, они играют роль необходимого условия; при решении во всём пространстве они также становятся достаточным условием для оптимального решения. Методика может быть также применена к стохастическим системам.

Классические вариационные задачи (например, задача о брахистохроне) могут быть решены с использованием этого метода.

Уравнение является результатом развития теории динамического программирования, первопроходцем которой является Ричард Беллман и его сотрудники.

Соответствующее уравнение с дискретным временем называется просто уравнением Беллмана. При рассмотрении задачи с непрерывным временем полученные уравнения могут рассматриваться как продолжение более ранних работ в области теоретической физики, связанных с уравнением Гамильтона — Якоби.

Задачи оптимального управления

Рассмотрим следующую задачу оптимального управления на промежутке времени $[0,T]$:

$V=\underset{u}{\min }\{\underset{0}{\overset{T}{\int }}C[x(t),u(t)]dt+D[x(T)]\},$

где С и D — функции стоимости, определяющие соответственно интегральную и терминальную часть функционала. x(t) — вектор, определяющий состояние системы в каждый момент времени. Его начальное значение x(0) считается известным. Вектор управления u(t) следует выбрать таким образом, чтобы добиться минимизации значения V.

Эволюция системы под действием управления u(t) описывается следующим образом:

$\dot{x}(t)=F[x(t),u(t)].$

Уравнение в частных производных

Для такой простой динамической системы, уравнения Гамильтона — Якоби — Беллмана принимают следующий вид:

$\dot{V}(x,t)+\underset{u}{\min }\{\mathrm{\nabla }V(x,t)\cdot F(x,u)+C(x,u)\}=0$

(под $a\cdot b$ подразумевается скалярное произведение) и задаются значением в конечный момент времени T:

$V(x,T)=D(x).$

Неизвестная в этом уравнении — беллмановская «функция значения» V(x, t), которая отвечает максимальной цене, которую можно получить, ведя систему из состояния (x, t) оптимальным образом до момента времени T. Соответственно, интересующая нас оптимальная стоимость — значение V = V(x(0), 0).

Вывод уравнения

Продемонстрируем интуитивные рассуждения, которые приводят к этому уравнению. Пусть $V(x(t),t)$ — функция значения, тогда рассмотрим переход от момента времени t к моменту t + dt в соответствии с принципом Беллмана:

$V(x(t),t)=\underset{u}{\min }\left\{C\right(x(t+dt),u(t+dt))dt+V(x(t+dt),t+dt\left)\right\}.$

Разложим последнее слагаемое по Тейлору:

$V(x(t+dt),t+dt)=V(x(t),t)+\dot{V}(x(t),t)dt+\mathrm{\nabla }V(x(t),t)\cdot \dot{x}(t)dt+o(d{t}^2).$

Осталось перенести V(x, t) влево, поделить на dt и перейти к пределу.

Литература

• R. E. Bellman: Dynamic Programming and a new formalism in the calculus of variations. Proc. Nat. Acad. Sci. 40, 1954, 231—235.
• R. E. Bellman: Dynamic Programming, Princeton 1957.
• R. Bellman, S. Dreyfus: An application of dynamic programming to the determination of optimal satellite trajectories. J. Brit. Interplanet. Soc. 17, 1959, 78—83.