Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби

Теорема Лиувилля об интеграле уравнения Гамильтона — Якоби — утверждение о достаточных условиях интегрируемости в квадратурах (существования решения в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них) уравнения Гамильтона — Якоби.

Формулировка

Если в голономной системе с $s$ степенями свободы кинетическая энергия $T$ имеет вид

$T=\frac{1}{2}f\sum _{m=1}^s{A}_m(q_m){\dot{q}}_m^2$

и потенциальная энергия $\mathrm{\Pi }$ имеет вид

$\mathrm{\Pi }=\frac{1}{f}\sum _{m=1}^s{\mathrm{\Pi }}_m(q_m)$,

где $f=\sum _{m=1}^s{F}_m(q_m)$, то интегрирование уравнения Гамильтона—Якоби приводит к квадратурам (решение можно представить в виде комбинации элементарных функций и интегралов от них).Шаблон:Sfn

Доказательство

Функция Гамильтона для условий теоремы имеет вид:

$H=T+\mathrm{\Pi }=\frac{1}{2}f\sum _{m=1}^s{A}_m(q_m){\dot{q}}_m^2+\frac{1}{f}\sum _{m=1}^s{\mathrm{\Pi }}_m(q_m)=h$.

Обобщенные импульсы равны

$p_m=\frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_m}=f{A}_m(q_m){\dot{q}}_m$.

С учётом этого функция Гамильтона:

$H=\frac{1}{f}\sum _{m=1}^s[\frac{p_m^2}{2A_m(q_m)}+{\mathrm{\Pi }}_m(q_m)]=h$.

Произведем замену $p_m=\frac{\partial W}{\partial q_m}$. Уравнение Гамильтона — Якоби примет видШаблон:Sfn:

$\sum _{m=1}^s[\frac{1}{2A_m(q_m)}{\left(\frac{\partial W}{\partial q_m}\right)}^2+{\mathrm{\Pi }}_m(q_m)-h{F}_m(q_m)]=0$.

Будем искать полный интеграл этого уравнения в виде:

$W=W_1(q_1)+W_2(q_2)+...+W_s(q_s)$.

Уравнение Гамильтона — Якоби примет вид:

$$\sum _{m=1}^s[\frac{1}{2A_m(q_m)}{\left(\frac{\partial W_m}{\partial q_m}\right)}^2+{\mathrm{\Pi }}_m(q_m)-h{F}_m(q_m)]=0(1)$$

Каждое слагаемое левой части этого уравнения зависит только от одной обобщённой координаты $q_m$, поэтому можно применить метод разделения переменных. Это уравнение выполняется, если каждое из слагаемых равно постоянной величине:

$\frac{1}{2A_m(q_m)}{\left(\frac{\partial W_m}{\partial q_m}\right)}^2+{\mathrm{\Pi }}_m(q_m)-h{F}_m(q_m)={\alpha }_m$,

причем должно выполняться условие ${\alpha }_1+{\alpha }_2+...{\alpha }_s=0$. Каждое из уравнений (1) является дифференциальным уравнением первого порядка, интегрирование которого сводится к квадратуре:

$W_m=\int \sqrt{2A_m(q_m)[{\alpha }_m+h{F}_m(q_m)-{\mathrm{\Pi }}_m(q_m)]}d{q}_m$.

Таким образом, полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби равен:

$W=\sum _{m=1}^s\int \sqrt{2A_m(q_m)[{\alpha }_m+h{F}_m(q_m)-{\mathrm{\Pi }}_m(q_m)]}d{q}_m$

Этот интеграл содержит $s$ произвольных постоянных $h,{\alpha }_1,{\alpha }_2,...,{\alpha }_{s-1}$ и постоянную ${\alpha }_s=-({\alpha }_1+{\alpha }_2+...+{\alpha }_{s-1})$Шаблон:Sfn

Литература

• Шаблон:Книга