Производная по времени

Производная по времени — производная функции по отношению к времени, обычно интерпретируемая как скорость изменения значения функции. Время обычно обозначается переменной $t$.

Обозначения

Для обозначения производной по времени используется несколько обозначений. В дополнение к обычной (лейбницкой) нотации,

$\frac{dx}{dt}$

Очень часто, особенно в физике, используется сокращённая запись с точкой над переменной:

$\dot{x}$

(так называемая ньютоновская нотация).

Высшие производные по времени обозначаются так:

$\frac{d^{2}x}{d{t}^2}$

или в сокращённом виде: $\ddot{x}$.

В случае производных по времени более высоких порядков ньютоновская нотация, как правило, не используется.

В более общем случае, производная по времени от вектора:

$\overrightarrow{V}=[v_1,v_2,v_3,\cdots ],$

определяется как вектор с составляющими, которые являются производными соответствующих компонент исходного вектора. То есть

$\frac{d\overrightarrow{V}}{dt}=[\frac{d{v}_1}{dt},\frac{d{v}_2}{dt},\frac{d{v}_3}{dt},\cdots ].$

Применение в физике

Производные по времени являются одним из ключевых понятий в физике. Например, для радиус-вектора $x$, производная по времени $\dot{x}$ это его скорость, а вторая производная по времени $\ddot{x}$ это его ускорение. Третья производная по времени известна как рывок.

Большое число уравнений в физике является производной по времени от вектора, например скорости или смещения. Многие другие фундаментальные величины в науке соотносятся как производные по времени друг от друга:

• сила является производной по времени от импульса
• мощность является производной по времени от энергии
• Сила тока является производной по времени от электрического заряда

Применение в экономике

В экономике многие теоретические модели эволюции различных экономических переменных используют производные по времени.