Функция распределения (статистическая физика)

Шаблон:Не путатьШаблон:Физическая теория Функция статистического распределения (функция распределения в статистической физике) — плотность вероятности в фазовом пространстве. Одно из основополагающих понятий статистической физики. Знание функции распределения полностью определяет вероятностные свойства рассматриваемой системы.

Механическое состояние любой системы однозначно определяется координатами $q_i$ и импульсами $p_i$ её частиц (i=1,2,…, d; d — число степеней свободы системы). Набор величин $q\equiv \left\{q_i\right\}$ и $p\equiv \left\{p_i\right\}$ образуют фазовое пространство.

Полная функция статистического распределения

Вероятность нахождения системы в элементе фазового пространства $\mathrm{d}q\mathrm{d}p\equiv \prod _i\mathrm{d}{q}_i\mathrm{d}{p}_i$, с точкой (q, p) внутри, даётся формулой:

$\mathrm{d}\omega =\rho (t,q,p)\mathrm{d}q\mathrm{d}p(1)$

Функцию $\rho (t,q,p)$ называют полной функцией статистического распределения (или просто функцией распределения). Фактически она представляет собой плотность изображающих точек в фазовом пространстве. Функция $\rho (t,q,p)$ удовлетворяет условию нормировки:

$\int \rho (t,q,p)\mathrm{d}q\mathrm{d}p=1,(2)$

причём интеграл берётся по всему фазовому пространству. В соответствующем механике случае система находится в определённом микроскопическом состоянии, то есть обладает заданными $q^{(0)}\equiv \left\{{q_i}^{(0)}\right\}$ и $p^{(0)}\equiv \left\{{p_i}^{(0)}\right\}$, и тогда

$\rho (q,p)=\delta (q-q^{(0)})\delta (p-p^{(0)}),$

где $\delta (q-q^{(0)})\delta (p-p^{(0)})\equiv \prod _i\delta (q_i-{q_i}^{(0)})\delta (p_i-{p_i}^{(0)})$ (δ — функция Дирака). Помимо самих вероятностей различных микроскопических состояний, функция $\rho (t,q,p)$ позволяет найти среднее статистическое значение любой физической величины $F(t,q,p)$ — функции фазовых переменных q и p:

$⟨\hat{F}⟩=\int \hat{F}\hat{\rho }\mathrm{d}q\mathrm{d}p,$

где «крышечка» означает зависимость от фазовых переменных, а скобка — статистическое усреднение.

Разобьём систему на малые, но макроскопические подсистемы. Можно утверждать о статистической независимости таких подсистем вследствие их слабого взаимодействия с окружением (во взаимодействии с окружением принимают участие лишь частицы, близкие к границе подсистемы; в случае макроскопичности подсистемы их число мало по сравнению с полным числом её частиц). Статистическая независимость подсистем приводит к следующему результату для функции распределения

$\rho (t,q,p)=\prod _n{\rho }^{(n)}(t,q^{(n)},p^{(n)})(3)$

Индекс n относится к n-й подсистеме. Каждую из функций ${\rho }^{(n)}(t,q^{(n)},p^{(n)})$ можно считать нормированной в соответствии с условием (2). При этом автоматически будет нормирована и функция $\rho$. Понятие о статистической независимости является приближенным. Приближенным в свою очередь является и равенство (3): оно не учитывает корреляции частиц, принадлежащих различным подсистемам. Существенно, однако, что в обычных физических условиях корреляции быстро ослабевают по мере удаления частиц (или групп частиц) друг от друга. Для системы существует характерный параметр — радиус корреляций, вне которого частицы ведут себя статистически независимо. В подсистемах макроскопических размеров подавляющее число частиц одной подсистемы лежит вне радиуса корреляций от частиц другой, и по отношению к этим частицам равенство (3) справедливо.

Математически задание полной функции распределения $\rho (t,q,p)$ равносильно заданию бесконечного числа независимых величин — её значений на континууме точек фазового пространства колоссальной размерности 2d (для макроскопических систем d ~ $N_A$, где $N_A$ — число Авогадро).

Неполное описание

В более реальном случае неполного измерения становятся известны вероятности значений или даже средние значения лишь некоторых физических величин $\hat{A}\equiv \left\{{\hat{A}}_m\right\}$. Число их обычно бывает много меньше размерности фазового пространства системы. Функция распределения вероятностей $\rho \left(A\right)$ значений $A$ дается равенством

$\rho \left(A\right)=\int \mathrm{d}q\mathrm{d}p\delta (A-\hat{A})\rho (q,p),$

где $\delta (A-\hat{A})\equiv \prod _m\delta (A_m-{\hat{A}}_m)$. Функция распределения $\rho \left(A\right)$ может быть названа неполной. Очевидно, она позволяет найти вероятности значений лишь физических величин $\hat{f}\equiv f\left(\hat{A}\right)$ , зависимость которых от фазовых переменных осуществляется через $\hat{A}$ . Для таких же величин она позволяет найти и средние значения:

$⟨\hat{f}⟩=\int \mathrm{d}Af\left(A\right)\rho \left(A\right),$

где $\mathrm{d}A\equiv \prod _m\mathrm{d}{A}_m$ и интегрирование ведется по всем возможным значениям $A$. Конечно, средние значения $⟨\hat{f}⟩$ величин $\hat{f}$ можно было бы найти с помощью полной функции распределения $\rho (t,q,p)$, если бы она была известна. Для функции $\rho \left(A\right)$ так же, как и для полной функции распределения, справедливо условие нормировки:

$\int \mathrm{d}A\rho \left(A\right)=1$

Описание системы с помощью функции $\rho \left(A\right)$ называется неполным описанием. Конкретными примерами служат описание с помощью функции распределения координат и импульсов отдельных частиц системы или описание с помощью средних значений масс, импульсов и энергий отдельных подсистем всей системы.

Временная эволюция функции распределения

Временная эволюция функции распределения подчиняется уравнению Лиувилля:

$\frac{\partial \hat{\rho }\left(t\right)}{\partial t}+i{L}_t\hat{\rho }\left(t\right)=0,(4)$

где $L_t$ — оператор Лиувилля, действующий в пространстве фазовых функций:

$L_t\cdot \equiv -i\{{\hat{H}}_t,\cdot \}\equiv -i\sum _j(\frac{\partial {\hat{H}}_t}{\partial p_j}\frac{\partial }{\partial q_j}-\frac{\partial {\hat{H}}_t}{\partial q_j}\frac{\partial }{\partial p_j})$,

${\hat{H}}_t$ — функция Гамильтона системы. В случае, когда оператор Лиувилля не зависит от времени ($L_t=L$), решение уравнения (4) имеет вид

$\hat{\rho }\left(t\right)=e^{-itL}\hat{\rho }\left(0\right)(5)$

Чтобы использовать (5) для фактического построения решения, нужно знать собственные функции ${\hat{\psi }}^{(n)}$ и собственные значения $L^{(n)}$ оператора $L$.

Пользуясь полнотой и ортонормированностью ${\hat{\psi }}^{(n)}$, напишем:

$\hat{\rho }\left(0\right)=\sum _n{c}_n{\hat{\psi }}^{(n)}$,

где $c_n=({\hat{\psi }}^{(n)},\hat{\rho }\left(0\right))$ (спектр предполагается дискретным). В итоге получим

$\hat{\rho }\left(t\right)=\sum _n{e}^{-i\cdot t\cdot L^{(n)}}{c}_n{\hat{\psi }}^{(n)}$

См. также

• Частичная функция распределения

Литература

• Гиббс Дж. В. «Основные принципы статистической механики» — М. — Л., 1946. // Переиздано: Изд-во «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. — 204 с. ISBN 5-93972-127-3.
• Балеску Р. Равновесная и неравновесная статистическая механика. В двух томах. — М.: Мир, 1978.
• Березин Ф. А. Лекции по статистической физике. — Москва — Ижевск: Институт. компьютерных исследований, 2002. — 192с. (2-е изд, испр. Изд-во: МЦНМО, 2008. — 200 с. ISBN 978-5-94057-352-4)
• Боголюбов Н. Н. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.— Л.: ОГИЗ. Гостехиздат, 1946.
• Боголюбов Н. Н. Избранные труды по статистической физике. — М.: Изд-во МГУ, 1979.
• Боголюбов Н. Н. Собрание научных трудов. В 12 томах. Т. 5: «Неравновесная статистическая механика, 1939—1980». — М.: Наука, 2006. ISBN 5020341428.
• Власов А. А. Нелокальная статистическая механика. — М.: Наука, 1978.
• Зубарев Д. Н., Морозов В. Г., Репке Г. Статистическая механика неравновесных процессов. Том 1. — М.: Физматлит, 2002. — 432 с. ISBN 5-9221-0211-7, ISBN 5-9221-0210-9.
• Пригожин И. Неравновесная статистическая механика. — Изд-во: Едиториал УРСС, 2005. — 312 с. ISBN 5-354-01004-7
• Хинчин А. Я. Математические основания статистической механики. — Изд-во: Регулярная и хаотическая динамика, 2003. — 128с. ISBN 5-93972-273-3
• Рюэль Д. Статистическая механика. Строгие результаты. — М.: Мир, 1971. — 368с.
• Крылов Н. С. Работы по обоснованию статистической физики. — М.-Л.: Из-во АН СССР, 1950.
• Кубо Р. Статистическая механика. — М.: Мир, 1967.
• Шаблон:Книга:Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М.: Статистическая физика
• Терлецкий Я. П. Статистическая физика. (2-е изд.). — М.: Высшая школа, 1973.
• Уленбек Дж., Форд Дж. Лекции по статистической механике. — М.: Мир, 1965.]
• Хуанг К. Статистическая механика. — М.: Мир, 1966.