Симплектическое пространство

Симплекти́ческое пространство — это векторное пространство S с заданной на нём симплектической формой $\omega$, то есть билинейной кососимметрической невырожденной 2-формой:

$\omega (𝐚,𝐛)=-\omega (𝐛,𝐚)$

$\omega (𝐚,\lambda 𝐛+\mu 𝐜)=\lambda \omega (𝐚,𝐛)+\mu \omega (𝐚,𝐜)$

$\mathrm{\forall }𝐚\in 𝕊,𝐚\ne 0\mathrm{\exists }𝐛\in 𝕊:\omega (𝐚,𝐛)\ne 0$

Симплектическая форма обычно обозначается $⟨\cdot ,\cdot ⟩$. В отличие от формы скалярного произведения, для которой

$\mathrm{\forall }𝐚\ne 0:(𝐚,𝐚)>0$,

для симплектической формы всегда $⟨𝐚,𝐚⟩=0$

Связанные определения

• Линейное преобразование L симплектического пространства называется симплектическим, если оно сохраняет симплектическую форму:

$⟨𝐚,𝐛⟩=⟨L(𝐚),L(𝐛)⟩$

• Множество всех симплектических преобразований пространства S образует группу, называемую симплектической группой и обозначаемую Sp(S).
• Матрица симплектического преобразования называется симплектической матрицей.
• Подпространство s симплектического пространства S называется симплектическим, если ограничение симплектической формы на s невырождено.
• Два вектора $𝐚,𝐛\in S$ называются косоортогональными, если

$⟨𝐚,𝐛⟩=0$

Отметим, что любой вектор косоортогонален самому себе.

• Косоортогональным дополнением подпространства $s\subset S$ называется множество всех векторов, косоортогональных любому вектору из $s$.

Каноническая структура

Симплектическую структуру можно ввести на любом чётномерном векторном пространстве. Можно показать, что на нечётномерном пространстве не существуют невырожденные кососимметрические 2-формы. Все симплектические пространства одинаковой размерности симплектически изоморфны. Эти факты следуют из теоремы Дарбу для симплектических пространств. Идея доказательства заключается в следующем. Рассмотрим некоторый вектор ${𝐪}_{\mathrm{𝟏}}\in 𝕊,\dim 𝕊=2n$. В силу невырожденности $\omega$ существует такой вектор ${𝐩}_{\mathrm{𝟏}}\in 𝕊$, что

$⟨{𝐩}_{\mathrm{𝟏}},{𝐪}_{\mathrm{𝟏}}⟩=1$

Рассмотрим косоортогональное дополнение к линейной оболочке V векторов ${𝐩}_{\mathrm{𝟏}}$ и ${𝐪}_{\mathrm{𝟏}}$. Можно показать, что это будет (2n-2)-мерное подпространство S, не пересекающееся c V, причём ограничение $\omega$ на нём невырождено. Следовательно, процесс можно продолжить по индукции. Для нечётномерного пространства процесс завершится на одномерном подпространстве, на котором $\omega$ заведомо вырождена, так что предположение о существовании симплектической структуры было неверным. Для чётномерного пространства мы получим базис

$({𝐩}_{\mathrm{𝟏}},\dots ,{𝐩}_{𝐧},{𝐪}_{\mathrm{𝟏}},\dots ,{𝐪}_{𝐧})$,

такой что

$⟨{𝐩}_{𝐢},{𝐪}_{𝐣}⟩={\delta }_{ij},⟨{𝐪}_{𝐢},{𝐪}_{𝐣}⟩=⟨{𝐩}_{𝐢},{𝐩}_{𝐣}⟩=0$

где ${\delta }_{ij}$ — символ Кронекера. Он называется каноническим базисом или базисом Дарбу.

В каноническом базисе матрица симплектической формы примет вид

${\mathrm{\Omega }}_n=\left[\begin{array}{cc}0& I_n\\ -I_n& 0\end{array}\right]$

где $I_n$ — единичная матрица порядка n. ${\mathrm{\Omega }}_n$ является симплектической матрицей.

Строение подпространств

Рассмотрим подпространство $W\subset 𝕊$ и его косоортогональное дополнение $W^{\perp }$. В силу невырожденности $\omega$:

$\dim W+\dim W^{\perp }=\dim 𝕊$

Кроме того,

$(W^{\perp }{)}^{\perp }=W$

В общем случае эти подпространства пересекаются. В зависимости от их взаимного положения выделяют 4 типа подпространств:

• Симплектические: $W\cap W^{\perp }=0$. Это верно тогда и только тогда, когда ограничение $\omega$ на W невырождено, так что такое определение симплектических подпространств совпадает с данным ранее. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_1,\dots ,p_k,0,\dots ,0;q_1,\dots ,q_k,0,\dots ,0),2k=\dim W$

• Изотропные: $W\subset W^{\perp }$. Подпространство изотропно тогда и только тогда, когда $\omega$ тождественно равна нулю на нём. Любое одномерное подпространство изотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_1,\dots ,p_k,0,\dots ,0;0,\dots ,0),k=\dim W$.

• Коизотропные: $W^{\perp }\subset W$. W коизотропно тогда и только тогда, когда $\omega$ невырождена на факторпространстве $W/W^{\perp }$. Любое подпространство коразмерности 1 коизотропно. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_1,\dots ,p_n;q_1,\dots ,q_k,0,\dots ,0),n+k=\dim W,2n=\dim 𝕊$

• Лагранжевы: $W^{\perp }=W$. W лагранжево тогда и только тогда, когда оно одновременно изотропно и коизотропно. Любое изотропное подпространство вкладывается в лагранжево, а любое коизотропное подпространство содержит лагранжево. В подходящих координатах Дарбу W имеет вид

$(p_1,\dots ,p_n;0,\dots ,0),n=\dim W,2n=\dim 𝕊$

Множество всех лагранжевых подпространств пространства размерности 2n образует многообразие, называемое лагранжевым грассманианом ${\mathrm{\Lambda }}_n$. Оно диффеоморфно многообразию смежных классов унитарной группы ${𝕌}_n$ по ортогональной подгруппе ${𝕆}_n$, при этом

$\dim {\mathrm{\Lambda }}_n=\frac{n(n+1)}{2}$

Примеры

• В комплексном пространстве ${ℂ}^n$ можно задать билинейную кососимметричную форму по формуле

$⟨u,w⟩=\mathrm{Im}[u,w]$

где $[\cdot ,\cdot ]$ — эрмитова форма. Эта форма задаёт симплектическую структуру на овеществлении ${ℝ}^{2n}$ пространства ${ℂ}^n$.

• Для любого пространства V существует каноническая симплектическая структура на пространстве $V\oplus V^{\ast }$, где $V^{\ast }$ — сопряжённое к V пространство. Кососкалярное произведение определяется для базисных векторов в V и сопряжённых к ним по формуле

$⟨w,u⟩=1,u^{\ast }=w,u\in V$

$⟨w,u⟩=0,u^{\ast }\ne w,\mathrm{\forall }u,w\in V\oplus V^{\ast }$

и продолжается на все остальные векторы по линейности.

См. также

• Индекс Маслова
• Симплектическая группа
• Симплектическое многообразие
• Контактная структура
• Гамильтонова механика
• Фазовое пространство
• Уравнения Гамильтона

Литература

• Шаблон:КнигаШаблон:Недоступная ссылка
• Шаблон:Книга
• Шаблон:КнигаШаблон:Недоступная ссылка