Алгебра Пуассона

Алгебра Пуассона — ассоциативная алгебра со скобкой Ли, которая также удовлетворяет тождеству Лейбница; то есть скобка также является дифференцированием. Алгебры Пуассона естественным образом появляются в гамильтоновой механике, а также играют центральную роль в изучении квантовых групп. Многообразия со структурой алгебры Пуассона известны как многообразия Пуассона, частным случаем которых являются симплектические многообразия и группы Пуассона — Ли. Названа в честь Симеона Дени Пуассона.

Символически алгебру Пуассона можно определить как векторное пространство над полем $K$, снабжённое двумя билинейными произведениями $\cdot$ и $\{\dots \}$ со следующими свойствами:

• произведение $\cdot$ образует ассоциативную $K$-алгебру;
• произведение $\{\dots \}$ (называемое скобкой Пуассона) образует алгебру Ли, поэтому оно антикоммутативно и удовлетворяет тождеству Якоби;
• скобка Пуассона действует как дифференцирование ассоциативного произведения $\cdot$, так что для любых трёх элементов $x$, $y$ и $z$ выполнено: $\{x,y\cdot z\}=\{x,y\}\cdot z+y\cdot \{x,z\}$.

Литература

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Книга