Полная производная функции

Полная производная функции — производная функции по времени вдоль траектории.

Расчёт полной производной функции $f=f(t,x(t),y(t))$ по времени t, $\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}t}$ (в отличие от частной производной, $\frac{\partial f}{\partial t}$) не подразумевает, что другие аргументы (т.е. иные нежели аргумент, t, по которому ведётся полное дифференцирование: x и y) постоянны при изменяющемся t. Полная производная включает в себя эти непрямые зависимости от t (т.е. x(t) и y(t)) для описания зависимости f от t.

Оператор \ Функция	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Дифференциал	1: $\mathrm{d}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_x\mathrm{d}x$	2: ${\mathrm{d}}_{x}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_x\mathrm{d}x$ 3: $\mathrm{d}f\stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f{\text{'}}_x\mathrm{d}x+f{\text{'}}_y\mathrm{d}y+f{\text{'}}_u\mathrm{d}u+f{\text{'}}_v\mathrm{d}v$
Частная производная	$f{\text{'}}_x\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}{=}\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}$	$f{\text{'}}_x\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{2}\mathrm{)}}{=}\frac{{\mathrm{d}}_{x}f}{\mathrm{d}x}=\frac{\partial f}{\partial x}$
Полная производная	$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{1}\mathrm{)}}{=}f{\text{'}}_x$	$\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}\stackrel{\mathrm{(}\mathrm{3}\mathrm{)}}{=}f{\text{'}}_x+f{\text{'}}_u\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}+f{\text{'}}_v\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x};(f{\text{'}}_y\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=0)$

Пример № 1

Например, для упомянутой функции f = f(t, x(t), y(t)) полная производная функции вычисляется по следующему правилу:

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t_0,x(t_0),y(t_0))={\frac{\partial f}{\partial t}|}_{t_0,x(t_0),y(t_0)}\frac{\mathrm{d}t}{\mathrm{d}t}+{\frac{\partial f}{\partial x}|}_{t_0,x(t_0),y(t_0)}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+{\frac{\partial f}{\partial y}|}_{t_0,x(t_0),y(t_0)}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},$

что упрощается до

$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}f(t,x(t),y(t))=\frac{\partial f}{\partial t}+\frac{\partial f}{\partial x}\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t},$

где $\frac{\partial f}{\partial t},\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}$ — частные производные.

Следует отметить, что обозначение $\frac{df}{dt}$ является условным и не означает деления дифференциалов. Кроме того, полная производная функции зависит не только от самой функции, но и от траектории.

Пример №2

Например, полная производная функции $f(x(t),y(t))$:

$\frac{df}{dt}=\frac{\partial f}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial f}{\partial y}\frac{dy}{dt}$

Здесь нет $\frac{\partial f}{\partial t}$ так как $f$ сама по себе («явно») не зависит от $t$.

Приложения

• Теорема Лиувилля о сохранении фазового объёма

См. также

• Конвективная производная
• Производная Лагранжа
• Производная по направлению