Конвективная производная

Конвекти́вная произво́дная от векторной либо скалярной функции в точке $\overrightarrow{r}$ в момент времени t определяет изменение параметров данной функции в $\overrightarrow{r}$ в момент t при конвекции (движении среды с определенной скоростью $\overrightarrow{u}(\overrightarrow{r},t)$). Является одним из слагаемых производной Лагранжа (субстанциональной производной) и может быть найдена путём действия оператора $(\overrightarrow{u}\cdot \mathrm{\nabla })$ на скалярную либо векторную функцию (тут $\mathrm{\nabla }$ — оператор набла).

В общем случае материальная производная имеет вид:

$\frac{𝒟𝐀}{𝒟t}=\frac{D𝐀}{Dt}-(𝐀\cdot (\mathrm{\nabla }\otimes 𝐯))-((\mathrm{\nabla }\otimes 𝐯)\cdot 𝐀)+{\alpha }_1(\mathrm{Sym}(\mathrm{\nabla }\otimes 𝐯)\cdot 𝐀)+{\alpha }_2(𝐀\cdot \mathrm{Sym}(\mathrm{\nabla }\otimes 𝐯))+{\alpha }_3\cdot 𝐀\cdot \mathrm{Tr}(\mathrm{\nabla }\otimes 𝐯)$

или в индексной записи:

$\frac{𝒟A_{ij}}{𝒟t}=\frac{D{A}_{ij}}{Dt}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+{\alpha }_1\cdot v_{(i,k)}\cdot A_{kj}+{\alpha }_2\cdot A_{ik}\cdot v_{(k,j)}+{\alpha }_3\cdot A_{ij}\cdot v_{k,k}$

где $\frac{D{A}_{ij}}{Dt}=\frac{\partial A_{ij}}{\partial t}+v_k\cdot \frac{\partial A_{ij}}{\partial x_k}$ — обычная производная Лагранжа;

$\mathrm{\nabla }\otimes 𝐯$ или $v_{i,j}=\frac{\partial v_i}{\partial x_j}$ — производные по координатам;

$\mathrm{Sym}(\mathrm{\nabla }\otimes 𝐯)=\frac{1}{2}((\mathrm{\nabla }\otimes 𝐯)+{(\mathrm{\nabla }\otimes 𝐯)}^{\mathrm{T}})$ или $v_{(i,j)}=\frac{1}{2}(v_{i,j}+v_{j,i})$ — симметрирование тензора;

$\mathrm{Alt}(\mathrm{\nabla }\otimes 𝐯)=\frac{1}{2}((\mathrm{\nabla }\otimes 𝐯)-{(\mathrm{\nabla }\otimes 𝐯)}^{\mathrm{T}})$ или $v_{[i,j]}=\frac{1}{2}(v_{i,j}-v_{j,i})$ — альтернирование тензора.

Виды:

• Шаблон:Не переведено 3 (производная Олдройда) — ${\alpha }_1={\alpha }_2={\alpha }_3=0$

${\stackrel{▽}{A}}_{ij}=\frac{D{A}_{ij}}{Dt}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}$

• Нижняя конвективная производная (производная Коттера — Ривлина) — ${\alpha }_1={\alpha }_2=4,{\alpha }_3=0$

${\stackrel{△}{A}}_{ij}=\frac{D{A}_{ij}}{Dt}+A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i,k}\cdot A_{kj}$

• Правая конвективная производная — ${\alpha }_1={\alpha }_2=2,{\alpha }_3=0$

${\stackrel{◃}{A}}_{ij}=\frac{D{A}_{ij}}{Dt}-A_{ik}\cdot v_{k,j}+v_{i,k}\cdot A_{kj}$

• Левая конвективная производная — ${\alpha }_1={\alpha }_3=0,{\alpha }_2=2$

${\stackrel{▹}{A}}_{ij}=\frac{D{A}_{ij}}{Dt}+A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}$

• Вращательная производная (производная Яумана, Яумана — Зарембы — Нолла) — ${\alpha }_1={\alpha }_2=-1,{\alpha }_3=0$

${\stackrel{\circ }{A}}_{ij}=\frac{D{A}_{ij}}{Dt}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}=\frac{1}{2}({\stackrel{▽}{A}}_{ij}+{\stackrel{△}{A}}_{ij})$

• Производная Трусделла — ${\alpha }_1={\alpha }_2=0,{\alpha }_3=1$

${\stackrel{▾}{A}}_{ij}=\frac{D{A}_{ij}}{Dt}-A_{ik}\cdot v_{k,j}-v_{i,k}\cdot A_{kj}+A_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel{▽}{A}}_{ij}+A_{ij}\cdot v_{k,k}$

• Производная Хилла — ${\alpha }_1={\alpha }_2=-1,{\alpha }_3=1$

${\stackrel{\bullet }{A}}_{ij}=\frac{D{A}_{ij}}{Dt}+A_{ik}\cdot v_{[k,j]}-v_{[i,k]}\cdot A_{kj}+A_{ij}\cdot v_{k,k}={\stackrel{\circ }{A}}_{ij}+A_{ij}\cdot v_{k,k}$

Различные виды конвективной производной используются для моделирования неньютоновских жидкостей, см., например, жидкость Максвелла.

Ссылки

• Реологические уравнения
• О построении эволюционных определяющих уравнений
• [1]
• Шаблон:MathWorld