Преобразование Гольштейна — Примакова

Преобразование Гольштейна — Примакова — переход от операторов спина к операторам рождения и уничтожения магнонов (являющихся бозонамиШаблон:Sfn). Было предложено Теодором Гольштейном (1915—1985, иногда фамилию пишут «Хольштейн») и Генри Примаковым (1914—1983)Шаблон:Sfn в оригинальной работе 1940 года.

Первое преобразование Гольштейна — Примакова

При изучении спиновых волн обычно переходят к циклическим комбинациям компонент спинов. Это выполняют следующим образом. Динамика магнитных моментов (или спинов) описывается уравнением Ландау — Лифшица. Предполагая, что ферромагнетик помещён в сильное магнитное поле напряжённостью $H_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}$ вдоль оси z и находится вблизи состояния насыщения (то есть для компонент спина длиной S выполняются соотношения $S_z\approx S$, $S_{x,y}\ll S$) уравнение Ландау — Лифшица в приближении магнитной анизотропии для j-го спина принимает вид

$\frac{\mathrm{d}{S}_j^x}{\mathrm{d}t}=-S\sum _j{J}_{ji}(S_i^y-S_j^y)+g{\mu }_B{H}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}{S}_j^y,$

$\frac{\mathrm{d}{S}_j^y}{\mathrm{d}t}=-S\sum _j{J}_{ji}(S_j^x-S_i^x)+g{\mu }_B{H}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}{S}_j^x,$

где магнитная анизотропия включена в обменный интеграл $J_{ji}$, g — фактор Ланде, ${\mu }_B$ — магнетон Бора. Для изучения спиновых волн эти два уравнения записывают для операторов

$S_j^{\pm }=S_j^x\pm i{S}_j^y,$

в форме

$\frac{\mathrm{d}{S}_j^{\pm }}{\mathrm{d}t}=\mp i(S\sum _j{J}_{ji}(S_j^{\pm }-S_i^{\pm })+g{\mu }_B{H}_{\mathrm{e}\mathrm{x}\mathrm{t}}{S}_j^{\pm }),$

где i — мнимая единица.Шаблон:Sfn

В таком случае преобразованием Гольштейна — Примакова (первым) называют замену

$S_j^{+}=\sqrt{2S}{(1-\frac{1}{2S}{a}_j^{†}{a}_j)}^{1/2}{a}_j,S_j^{-}=\sqrt{2S}{a}_j^{†}{(1-\frac{1}{2S}{a}_j^{†}{a}_j)}^{1/2},$

где $a_j^{†}$ — оператор рождения спиновых возбуждений (квазичастиц), $a_j$ — оператор их уничтожения.Шаблон:SfnШаблон:Sfn

Данное преобразование справедливо при низких температурах, когда число квазичастиц можно считать малым. Требование диагонализации спинового гамильтониана показывает, что элементарными возбуждениями ферромагнетика должны являться спиновые волны (то есть коллективные возбуждения), а не отклонения спинов от равновесного состояния, локализированные на узлах решётки.Шаблон:Sfn

Второе преобразование Гольштейна — Примакова

Иногда говорят о втором преобразовании Гольштейна — Примакова имея в виду переход к операторам рождения и уничтожения спиновых волн путём преобразования Фурье операторов для квазичастиц $a_j$ и $a_j^{†}$ и их представления через волновые вектора $𝐤$:

$a_{𝐤}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _j{a}_j{e}^{-i𝐤{𝐫}_j},a_{𝐤}^{†}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum _j{a}_j^{†}{e}^{i𝐤{𝐫}_j}.$

Новые операторы удовлетворяют тем же коммутационным соотношениям, что и «старые» и поэтому также могут рассматриваться как операторы рождения и уничтожения бозе-частиц, но которые уже являются коллективизированными. Спиновый гамильтониан, выраженный через них, диагонализуется, а сами операторы $a_{𝐤}$ и $a_{𝐤}^{†}$ называют операторами уничтожения и рождения спиновых волн или магнонов.Шаблон:Sfn

См. также

• Вторичное квантование

Литература

• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга