Гиперобъём

Гиперобъём — некоторая мера (обычно мера Лебега), сопоставляемая внутренности «гипертел» (тел в многомерном пространстве), обобщение трёхмерного объёма. Аналогичная мера для границы гипертела называется гиперплощадь.

Вычисление

Существует несколько компьютерных алгоритмов вычисления гиперобъёма. См. Алгоритмы точного вычисления гиперобъема.

Точное вычисление значения гиперобъёма множества из d точек n-мерного пространства является #P-трудной задачей.

Гиперобъём некоторых тел

Тело	Точное определение	Гиперобъём
Гиперкуб	выпуклая оболочка точек $(\underset{n}{\underbrace{\pm 1,\dots ,\pm 1}})$	$V_n=2^n$
Симплекс	выпуклая оболочка точек $(\underset{n}{\underbrace{0,\dots ,0,1,0,\dots ,0}})$ и начала координат	Определитель Кэли — Менгера
n-мерный шар	ГМТ, удалённых от центра на расстояние не больше r.	$V_n=\frac{{\pi }^{n/2}}{\mathrm{\Gamma }(\frac{n}{2}+1)}{R}^n$
Гиперконус	Выпуклая оболочка $n-1$-мерного шара радиуса $R$ и точки $(\underset{n-1}{\underbrace{0,\dots ,0}},h)$	$V_n=\frac{{\pi }^{(n-1)/2}}{n\mathrm{\Gamma }(\frac{n+1}{2})}{R}^{n-1}h$

В других областях

Существует т. н. «модель гиперобъёма» Дж. Э. Хатчинсона, согласно которой экологическая ниша представлена как n-мерный куб, на осях которого отложены экологические факторы.

В работе детально рассматривается применение индикатора гиперобъема в эволюционных алгоритмах.

См. также

• Мера Лебега
• Гиперкуб