Стодвадцатиячейник

Стодвадцатиячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) стодвадцатиячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{5,3,3}
Ячеек	120
Граней	720
Рёбер	1200
Вершин	600
Вершинная фигура	Правильный тетраэдр
Двойственный политоп	Шестисотячейник

Пра́вильный стодвадцатияче́йник, или просто стодвадцатияче́йник^[1] — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Известен также под другими названиями: гекатоникосахор (от Шаблон:Lang-grc — «сто», Шаблон:Lang-grc2 — «двадцать» и Шаблон:Lang-grc2 — «место, пространство»), гипердодека́эдр (поскольку является четырёхмерным аналогом додекаэдра), додекаплекс (то есть «комплекс додекаэдров»), полидодека́эдр. Двойственен шестисотячейнику.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов^[2]. Символ Шлефли стодвадцатиячейника — {5,3,3}.

Все 9 его звёздчатых форм — правильные звёздчатые многоячейники. Из 10 правильных звёздчатых многоячейников лишь один не является звёздчатой формой стодвадцатиячейника.

Описание

Ограничен 120 трёхмерными ячейками — одинаковыми додекаэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен в точности $14 4^{\circ} .$

Его 720 двумерных граней — одинаковые правильные пятиугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 1200 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 600 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки.

В координатах

Стодвадцатиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:

координаты 24 его вершин были всевозможными перестановками чисел $(0; 0; \pm 2; \pm 2);$

координаты 64 вершин — всевозможными перестановками $(\pm 1; \pm 1; \pm 1; \pm \sqrt{5});$

координаты 64 вершин — всевозможными перестановками $(\pm Φ^{- 2}; \pm Φ; \pm Φ; \pm Φ),$ где $Φ = \frac{1 + \sqrt{5}}{2}$ — отношение золотого сечения;

координаты 64 вершин — всевозможными перестановками $(\pm Φ^{- 1}; \pm Φ^{- 1}; \pm Φ^{- 1}; \pm Φ^{2});$

координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками $(0; \pm Φ^{- 2}; \pm 1; \pm Φ^{2});$

координаты 96 вершин — всевозможными чётными перестановками $(0; \pm Φ^{- 1}; \pm Φ; \pm \sqrt{5});$

координаты остальных 192 вершин — всевозможными чётными перестановками $(\pm Φ^{- 1}; \pm 1; \pm Φ; \pm 2) .$

Начало координат $(0; 0; 0; 0)$ будет при этом центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.