Правильный пятиугольник

Правильный пятиугольник (или пентагон от Шаблон:Lang-el) — геометрическая фигура, правильный многоугольник с пятью сторонами.

Свойства

• Угол $\alpha$ у правильного пятиугольника (из формулы для всех правильных многоугольников $\alpha =\frac{(n-2)}{n}\cdot 180^{\circ }$, где n — количество сторон мноугольника):

$\alpha =\frac{5-2}{5}\cdot 180^{\circ }=108^{\circ }$

• Площадь правильного пятиугольника рассчитывается по любой из формул:

$S=\frac{5}{4}{t}^2\mathrm{c}\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\pi }{5}=\frac{\sqrt{5}\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{4}{t}^2=\frac{5}{12}Rd=\frac{5}{2}{R}^2\sin \frac{2\pi }{5}=5r^2\mathrm{t}\mathrm{g}\frac{\pi }{5}$,

где $R$ — радиус описанной окружности, $r$ — радиус вписанной окружности, $d$ — диагональ, $t$ — сторона.

• Высота правильного пятиугольника:

$h=\frac{\mathrm{tg}72^{\circ }}{2}t=\frac{\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{2}t\approx 1,5388417685876268t$

• Диагонали правильного пятиугольника являются трисектрисами его внутренних углов.
• Отношение диагонали $d$ правильного пятиугольника к стороне $t$ равно «золотому сечению», то есть числу $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$.

Поэтому радиус вписанной окружности, радиус описанной окружности, высоту и площадь правильного пятиугольника можно вычислить и без использования тригонометрических функций:

• Сторона:

$t=R\sqrt{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}\approx 1,1755705045849463R$

• Радиус вписанной окружности:

$r=\frac{\sqrt{5}\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{10}t\approx 0,6881909602355869t$

• Радиус описанной окружности:

$R=\frac{\sqrt{1}0\sqrt{5+\sqrt{5}}}{10}t\approx 0,85065080835204t$

• Диагональ:

$d=\sqrt{\mathrm{\Phi }\sqrt{5}}R=\frac{\sqrt{5}+1}{2}t\approx 1,9021130325903073R\approx 1,618033988749895t$

• Площадь:

$S=\frac{\sqrt{5}\sqrt{5+2\sqrt{5}}}{4}{t}^2\approx 1,7204774005889671t^2$

• Правильным пятиугольником невозможно заполнить плоскость без промежутков (см. также Паркет)
• Отношение площадей правильного пятиугольника и другого правильного пятиугольника, образованного пересечением диагоналей исходного (середина пятиугольной звезды)

$\frac{S}{s}={\mathrm{\Phi }}^4=3\mathrm{\Phi }+2=\frac{3\sqrt{5}+7}{2}\approx 6,854101966249685$

где $\mathrm{\Phi }$ — отношение золотого сечения.

Построение

Правильный пятиугольник может быть построен с помощью циркуля и линейки или вписыванием его в заданную окружность, или построением на основе заданной стороны. Этот процесс описан Евклидом в его «Началах» около 300 года до н. э.

Вот один из методов построения правильного пятиугольника в заданной окружности:

1. Постройте окружность, в которую будет вписан пятиугольник, и обозначьте её центр как O. (Это зелёная окружность на схеме справа).
2. Выберите на окружности точку A, которая будет одной из вершин пятиугольника. Постройте прямую через O и A.
3. Постройте прямую перпендикулярно прямой OA, проходящую через точку O. Обозначьте одно её пересечение с окружностью как точку B.
4. Постройте точку C посередине между O и B.
5. Проведите окружность с центром в точке C через точку A. Обозначьте её пересечение с прямой OB (внутри первоначальной окружности) как точку D.
6. Проведите окружность с центром в A через точку D, пересечение данной окружности с оригинальной (зелёной окружностью) обозначьте как точки E и F.
7. Проведите окружность с центром в E через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку G.
8. Проведите окружность с центром в F через точку A. Обозначьте её другое пересечение с первоначальной окружностью как точку H.
9. Постройте правильный пятиугольник AEGHF.

• 
  Построение правильного пятиугольника
• 
  Построение правильного пятиугольника
• 
  Построение правильного пятиугольника
• 
  Альтернативный метод построения правильного многоугольника с помощью линейки и циркуля

Получение с помощью полоски бумаги

Правильный пятиугольник можно получить, завязав узлом полоску бумаги.

Узел из полоски бумаги, образующий пятиугольник

В природе

В природе не существует кристаллов с гранями в форме правильного пятиугольника, но исследования формирования водяного льда на ровной поверхности меди при температурах 100—140 K показали, что сначала на поверхности возникают цепочки молекул шириной около 1 нм не гексагональной, а пентагональной структуры. Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как эта мушмула германская. Пентасимметрией обладают иглокожие (например морские звёзды) и некоторые растения. См. также Закономерности в природе.

• 
  Иглокожие, например морские звёзды, обладают пентасимметрией
• 
  Пентасимметрию можно увидеть во многих цветах и некоторых фруктах, например в таких как мушмула германская

Интересные факты

Здание министерства обороны США, известное как Пентагон

• Додекаэдр — единственный из правильных многогранников, грани которого представляют собой правильные пятиугольники.
• Правильный пятиугольник — правильный многоугольник с наименьшим количеством углов из тех, которыми нельзя замостить плоскость.
• Правильный пятиугольник со всеми его диагоналями является проекцией правильного пятиячейника (4-симплекса).
• Пентагон — здание министерства обороны США — имеет форму правильного пятиугольника.

См. также

• Золотое сечение
• Пятиугольник
• Пентаэдр
• Пентаграмма
• Государственный знак качества СССР