Замощение (геометрия)

15 известных пятиугольных паркетов

Шаблон:Commonscat Парке́т или замощение — разбиение плоскости на многоугольники или пространства на многогранники без пробелов и наслоений.

Кроме паркетов на евклидовой плоскости, в математике рассматриваются «паркеты» на сфереШаблон:Переход, гиперболической плоскостиШаблон:Переход, в трёхмерном и многомерном пространстве.

Терминология

Замощения, мозаики, паркеты, разбиения

Паркеты иначе называются замощениями, мозаиками (Шаблон:Lang-en), разбиениями плоскости (Шаблон:Lang-en), паркетажами. Замощения трёхмерного пространства и пространств высших размерностей часто называют со́тами.

На странице 16 книги Грюнбаума и Шаблон:Нп5 «Tilings and Patterns» (1987) находится следующее примечание: Шаблон:Начало цитаты В математической литературе слова tessellation, paving, mosaic и parquetting используются как синонимы или со сходными значениями. Немецкие слова для мозаики — Pflasterung, Felderung, Teilung, Parkettierung и Zerlegung; французские слова — pavage, carrelage и dallage; русские слова — паркетаж, разбиение и замощение. Шаблон:Oq Шаблон:Конец цитаты

Паркеты с областями (плитками) произвольной формы иногда называют картами (см., напр., теорема о четырёх красках).

Покрытия и упаковки

Если объединение нескольких фигур содержит данную фигуру Ф, то говорят, что эти фигуры образуют покрытие фигуры Ф. При этом покрывающие фигуры могут перекрываться, но покрывают фигуру Ф без пробелов.

Упаковка — это размещение внутри данной фигуры нескольких фигур, не имеющих общих точек, кроме, быть может, граничных (т.е. без перекрытий).

Замощение — это разбиение фигуры на части. Замощение является одновременно покрытием и упаковкой.

Протоплитки

Протоплитки паркета (Шаблон:Lang-en, также прототипы) — это плитки (формы), входящие в паркет. Каждая плитка паркета конгруэнтна одной из протоплиток.

Так, единственная протоплитка шестиугольного паркета — правильный шестиугольник; протоплиткой правильного сферического пятиугольного паркета является пентагон; множество протоплиток ромботришестиугольного паркета состоит из равностороннего треугольника, квадрата и гексагона.

Паркет называется k-эдрическим, если множество его протоплиток (протомножество) состоит из k плиток.

Плитки паркета также называют гранями, а стороны многоугольных плиток — рёбрами, по аналогии с терминологией для многогранников.

Конфигурации вершин и граней

Шаблон:Seealso Шаблон:Нп5 состоит из плиток трёх типов: равносторонний треугольник, квадрат и гексагон. Эти плитки располагаются вокруг каждой из вершин в следующем порядке: треугольник, квадрат, шестиугольник, квадрат. Такой порядок называется конфигурацией вершины паркета и записывается в форме 3.4.6.4. В случае, если два и более числа в этой последовательности идут подряд, используется сокращённая запись: треугольный паркет может быть обозначен как 3.3.3.3.3.3 или как 3⁶. При этом записи, отличающиеся лишь циклической перестановкой чисел или изменением порядка записи на противоположный (например, 3.3.4.3.4 и 4.3.3.4.3), обозначают одну и ту же конфигурацию вершины; в то же время запись 3.4.4.6 не эквивалентна записи 3.4.6.4.

В неоднородных паркетах могут встречаться вершины с разными конфигурациями.

Конфигурацией грани называется последовательность степеней вершин этой грани при обходе её в одном направлении. Конфигурация грани записывается последовательностью чисел в квадратных скобках или с префиксом V.

Если все вершины некоторого паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью a₁.a₂....a_k, то все грани двойственного ему паркета имеют одну и ту же конфигурацию с записью Va₁.a₂....a_k. Например, конфигурации граней паркета, двойственного ромботришестиугольному паркету 3.4.6.4Шаблон:Ref-en, записываются как V3.4.6.4.

Виды паркетов

Во многих случаях принимается условие эквивалентности каждой из протоплиток паркета топологическому диску; иными словами, плитка не должна состоять из нескольких частей (квазиполимино), содержать «отверстия», быть бесконечной полосой и т.п..

Паркеты на плоскости

Правильные паркеты

Паркеты, составленные из одинаковых правильных многоугольников, называют правильными паркетами (Шаблон:Lang-en). Существует три правильных замощения плоскости: треугольный паркет, квадратный паркет и шестиугольный паркет.

• Правильные паркеты
• 
  Треугольный паркет
  3⁶
• 
  Квадратный паркет
  4⁴
• 
  Шестиугольный паркет
  6³

Шаблон:Навигация Правильные паркеты называют также платоновыми паркетами.

Полиформы, располагающиеся на правильных паркетах, называются соответственно полиамондами, полимино и полигексами.

Для обозначения паркета из правильных p-угольников, расположенных по q вокруг каждой вершины, применяется символ Шлефли {p, q}. Символы Шлефли трёх правильных мозаик — {3,6}, {4,4} и {6,3}.

Полуправильные паркеты

Шаблон:Seealso Паркеты, состоящие из правильных многоугольников двух или более типов, такие, что для любых двух вершин паркета существует преобразование симметрии (самосовмещение), переводящее одну из них в другую, называются полуправильными паркетами (Шаблон:Lang-en) или архимедовыми паркетами.

Существует 8 полуправильных паркетов. Один из восьми полуправильных паркетов (курносый тришестиугольный паркет) является хиральным, то есть не совпадает с собственным зеркальным отражением.

• Полуправильные паркеты (Архимедовы паркеты)
• 
  Усечённый квадратный паркет
  4.8.8
• 
  Курносый квадратный паркет
  3.3.4.3.4
• 
  Тришестиугольный паркет
  3.6.3.6
• 
  Шаблон:Нп5
  3.12.12
• 
  Шаблон:Нп5
  3.4.6.4
• 
  Шаблон:Нп5
  4.6.12
• 
  Шаблон:Нп5
  3.3.3.4.4
• 
  Курносый тришестиугольный паркет (одна из двух зеркальных копий)
  3.3.3.3.6

Шаблон:Навигация Существует два определения, приводящих к одному и тому же набору из 8 полуправильных паркетов на плоскости.

Первое, «локальное» определение, заключается в том, что вершинные конфигурации всех вершин должны совпадать. Иными словами, последовательности граней вокруг любых двух вершин паркета должны быть одинаковыми: одни и те же многоугольники должны идти в одном и том же (или в противоположном) порядке.

Второе, «глобальное» определение, требует, чтобы для любых двух вершин паркета существовало преобразование симметрии (самосовмещение паркета), переводящее одну из них в другую.

Грюнбаум и Шепард разделяют термины «архимедов паркет» (Шаблон:Lang-en) и «однородный паркет» (Шаблон:Lang-en): к первой группе относятся паркеты, соответствующие «локальному» определению, а ко второй — «глобальному». Хотя на евклидовой плоскости два этих множества совпадают, в других пространствах существуют архимедовы паркеты, не являющиеся однородными.

В математической литературе значения терминов «архимедов паркет», «полуправильный паркет» и «однородный паркет» варьируются.

Квазиправильные паркеты

Шаблон:Main Квазиправильный паркет (или многогранник) (Шаблон:Lang-en) — однородный паркет (или многогранник), состоящий из граней двух видов, чередующихся вокруг каждой вершины; иными словами, каждая грань окружена гранями другого типа.

На евклидовой плоскости существует лишь один квазиправильный паркет — тришестиугольный паркет с вершинной конфигурацией 3.6.3.6. На сфере существует два квазиправильных паркета (сферических многогранника) — кубооктаэдр и икосододекаэдр.

На плоскости Лобачевского существует бесконечное множество квазиправильных паркетов вида $p.q.p.q,$ где $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}<\frac{1}{2}.$

Неоднородные паркеты

Существует бесконечное множество неоднородных (Шаблон:Lang-en) паркетов, состоящих из правильных многоугольников.

• Неоднородные паркеты из правильных многоугольников
• 
  3².6², 3⁶
• 
  3².6², 3.6.3.6
• 
  3².4.12, 3⁶
• 
  3.4².6, 3.6.3.6

Шаблон:Навигация Периодические неоднородные паркеты можно классифицировать по числу орбит вершин, рёбер и граней. Если число орбит вершин равно n, паркет называется n-однородным (Шаблон:Lang-en) или n-изогональным; если число орбит рёбер равно n — n-изотоксальным (Шаблон:Lang-en). Вышеприведённые примеры представляют собой четыре из двадцати 2-однородных паркетов.

Непериодические паркеты и апериодические множества плиток

Непериодическая мозаика P3, впервые опубликованная Р. Пенроузом в 1978 году.

Ромбы Пенроуза с выступами и впадинами, обеспечивающими невозможность периодического покрытия без использования цветных плиток и линий.

Двумерная несвязная плитка Соколара — Тейлор

Шаблон:SeealsoШаблон:Навигация Разбиение T называется периодическим, если среди симметрий T существуют два параллельных переноса в непараллельных направлениях. В этом случае мозаику можно считать состоящей из повторений небольшого фрагмента, выложенного из элементов в узлах некоторой решётки. Множество прототипов (протомножество) P называется апериодическим, если оно реализуется в каких-то разбиениях плоскости, но ни одно из этих разбиений не является периодическим.

Первый пример апериодического множества плиток был найден Шаблон:Нп5 в 1966 году и включал в себя Шаблон:Число плиток Вана. Плитки Вана представляют собой квадраты одного размера с окрашенными сторонами; при построении мозаики разрешено совмещать плитки лишь одноцветными сторонами и запрещено переворачивать плитки.

Позднее были найдены апериодические протомножества с ме́ньшим числом плиток. Роджер Пенроуз обнаружил апериодические протомножества, состоящие из двух плиток.

В 2010 году Джошуа Соколар и Джон Тэйлор предложили апериодическое множество, состоящее из Шаблон:Нп5, которая представляет собой правильный шестиугольник с нанесённой разметкой в виде цветных линий и с дополнительными ограничениями, связанными с взаимным расположением не касающихся друг друга плиток. Существует модификация, не использующая подобных ограничений, но использующая несвязную плитку, т.е., плитку, не являющуюся топологическим диском. Существование единственной связной плитки без дополнительной разметки и ограничений, способной покрыть плоскость только апериодически, остаётся открытой проблемой.

Сферические многогранники

Шаблон:Main Сферический паркет или сферический многогранник — разбиение сферы на сферические многоугольники дугами больших кругов.

Каждому из 5 платоновых тел соответствует правильный сферический паркет. Формально, пусть S — сфера с центром O, совпадающим с центром многогранника P. Проведённые из O лучи, проходящие через вершины многогранника P, пересекают сферу S в точках, являющихся вершинами соответствующего сферического паркета; рёбра многогранника P соответствуют дугам больших кругов на S.

Помимо сферических аналогов пяти «платоновых тел», существует два семейства правильных сферических многогранников, не имеющих эквивалентов среди многогранников с плоскими гранями: осоэдры — многогранники с двумя вершинами, находящимися на полюсах сферы, грани которых являются конгруэнтными двуугольниками, и диэдры — двойственные осоэдрам двугранники, вершины которых находятся на экваторе сферы.

Звёздчатый семиугольный паркет в модели Пуанкаре на верхней полуплоскости. Чёрные линии образуют правильный семиугольный паркет порядка 3 (паркет, в каждой вершине которого сходятся три одинаковых правильных семиугольника).

Правильный семиугольный паркет порядка 3 в модели Пуанкаре на диске

Гиперболические паркеты

Шаблон:Seealso Аксиома параллельности Евклида (точнее, одно из эквивалентных ей утверждений) гласит: Шаблон:Начало цитаты Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит не более одной прямой, лежащей с данной прямой в одной плоскости и не пересекающей её. Шаблон:Конец цитаты В геометрии Лобачевского, вместо неё принимается следующая аксиома: Шаблон:Начало цитаты Через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие её. Шаблон:Конец цитаты

Для изображения гиперболической плоскости применяется одна из существующих моделей — модель Бельтрами — Клейна, конформный диск Пуанкаре, модель Пуанкаре на полуплоскости.

На евклидовой плоскости существует лишь три правильных паркета и 8 полуправильных. На гиперболической плоскости существует бесконечное множество даже правильных паркетов, включая паркеты с семью и более равносторонними треугольниками вокруг вершины, пятью и более квадратами, четырьмя и более правильными пятиугольниками (паркет с тремя пятиугольниками вокруг вершины является сферическим додекаэдром), четырьмя и более правильными шестиугольниками и тремя и более равными правильными многоугольниками с количеством сторон более 6.

Задачи на паркетах

Укладка 35 гексамино и 12 пентамино в прямоугольник 18×15. Фигуры пентамино образуют силуэт шахматной ладьи.

Шаблон:Seealso Большое количество задач и головоломок связано с разбиением прямоугольников (или других связных фигур) на плитки из определённого заданного множества протоплиток. Сами протоплитки при этом могут представлять собой связные объединения ячеек правильного паркета.

В частности, существует класс задач на замощение прямоугольников m × n плитками домино таким образом, чтобы в полученном разбиении не было прямой линии, пересекающей прямоугольник от края до края и не пересекающей ни одной плитки домино; такие прямоугольники называются «прочными».

В других задачах устанавливается дополнительное ограничение на количество плиток каждого вида, используемых в замощении. В задачах, связанных с пентамино, требуется покрыть 12 фигурами заданное подмножество квадратного паркета, состоящее из 60 клеток (прямоугольники 3 × 20, 4 × 15, 5 × 12, 6 × 10, шахматная доска с вырезанным в центре квадратным тетрамино и др.); при этом каждая плитка должна быть использована ровно один раз.

Перечисление паркетов

Задача определения количества паркетов, состоящих из выпуклых многоугольников заданного типа, решена лишь частично:

• Любым треугольником или четырёхугольником можно замостить плоскость.
• Известно 15 пятиугольников, способных замостить плоскость; неизвестно, является ли этот перечень полным. Проблема перечисления пятиугольных паркетов имеет богатую историю, и, возможно, уже решена.
• Известно 3 типа шестиугольников, способных замостить плоскость.
• Невозможно замостить плоскость одинаковыми выпуклыми многоугольниками с числом сторон, большим или равным семи.

См. также

• Диаграмма Вороного
• Триангуляция Делоне
• Мозаика Пенроуза
• Проблема четырёх красок
• Стереографическая проекция
• Замощение (компьютерная графика)

Литература

• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Статья
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга
• Шаблон:Книга

Ссылки

• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Wolfram Alpha учащимся Замощения
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Шаблон:Cite web
• Demonolog. Гибридное замощение Применение векторной графики для изображения непериодических замощений.