Пятиячейник

Пятиячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) пятиячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,3}
Ячеек	5
Граней	10
Рёбер	10
Вершин	5
Вершинная фигура	Правильный тетраэдр
Двойственный политоп	Он же (самодвойственный)

Проекция вращающегося пятиячейника в трёхмерное пространство

Стереографическая проекция пятиячейника

Развёртка

Пра́вильный пятияче́йник, или просто пятияче́йник, или пентахор (от Шаблон:Lang-grc — «пять» и Шаблон:Lang-grc2 — «место, пространство»), — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве: правильный четырёхмерный симплекс.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов. Символ Шлефли пятиячейника — {3,3,3}.

Двойственен сам себе. В отличие от пяти других правильных многоячейников, не имеет центральной симметрии.

Используется в физико-химическом анализе для изучения свойств многокомпонентных систем.

Описание

Ограничен 5 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Любые две ячейки — смежные; угол между ними равен $\arccos \frac{1}{4}\approx 75,52^{\circ }.$

Его 10 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 10 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 5 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки. Любые 2 вершины соединены ребром; любые 3 вершины принадлежат одной грани; любые 4 вершины принадлежат одной ячейке.

Пятиячейник можно рассматривать как правильную четырёхмерную пирамиду с тетраэдрическим основанием.

В координатах

Первый способ расположения

Пятиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты $(1;1;1;0),$ $(1;-1;-1;0),$ $(-1;1;-1;0),$ $(-1;-1;1;0),$ $(0;0;0;\sqrt{5}).$

При этом точка $(0;0;0;\frac{\sqrt{5}}{5})$ будет центром вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Второй способ расположения

Если разместить пятиячейник так, чтобы его вершины имели координаты $(\frac{\sqrt{5}}{4};\frac{\sqrt{5}}{4};\frac{\sqrt{5}}{4};\frac{1}{4}),$ $(\frac{\sqrt{5}}{4};-\frac{\sqrt{5}}{4};-\frac{\sqrt{5}}{4};\frac{1}{4}),$ $(-\frac{\sqrt{5}}{4};\frac{\sqrt{5}}{4};-\frac{\sqrt{5}}{4};\frac{1}{4}),$ $(-\frac{\sqrt{5}}{4};-\frac{\sqrt{5}}{4};\frac{\sqrt{5}}{4};\frac{1}{4}),$ $(0;0;0;-1),$ то они будут лежать на гиперсфере радиуса $1$ с центром в начале координат.

Третий способ расположения

В пятимерном пространстве возможно разместить пятиячейник так, чтобы все его вершины имели целые координаты: $(1;0;0;0;0),$ $(0;1;0;0;0),$ $(0;0;1;0;0),$ $(0;0;0;1;0),$ $(0;0;0;0;1).$

Центром вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер при этом будет точка $(\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5};\frac{1}{5}).$

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если пятиячейник имеет ребро длины $a,$ то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

$V_4=\frac{\sqrt{5}}{96}{a}^4\approx 0,0232924a^4,$

$S_3=\frac{5\sqrt{2}}{12}{a}^3\approx 0,5892557a^3.$

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

$R=\frac{\sqrt{10}}{5}a\approx 0,6324555a,$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\rho }_1=\frac{\sqrt{15}}{10}a\approx 0,3872983a,$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\rho }_2=\frac{\sqrt{15}}{15}a\approx 0,2581989a,$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

$r=\frac{\sqrt{10}}{20}a\approx 0,1581139a.$

Неправильные пятиячейники

Иногда словом «пятиячейник» может обозначаться не только правильный, но и произвольный четырёхмерный симплекс.

Ссылки

• Шаблон:Mathworld

Шаблон:Основные выпуклые правильные и однородные политопы в размерностях 2-10 Шаблон:Многогранники Шаблон:Символ Шлефли