Шестисотячейник

Шестисотячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) шестисотячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,5}
Ячеек	600
Граней	1200
Рёбер	720
Вершин	120
Вершинная фигура	Икосаэдр
Двойственный политоп	Стодвадцатиячейник

Проекция вращающегося шестисотячейника в трёхмерное пространство

Развёртка

Пра́вильный шестисотяче́йник, или просто шестисотяче́йник, или гекзакосихор (от Шаблон:Lang-grc — «шестьсот» и Шаблон:Lang-grc2 — «место, пространство»), — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве. Двойственен стодвадцатиячейнику.

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов. Символ Шлефли шестисотячейника — {3,3,5}.

Описание

Ограничен 600 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Угол между двумя смежными ячейками равен $\arccos (-\frac{1+3\sqrt{5}}{8})\approx 164,48^{\circ }.$

Его 1200 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 720 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 5 граней и по 5 ячеек.

Имеет 120 вершин. В каждой вершине сходятся по 12 рёбер, по 30 граней и по 20 ячеек.

В координатах

Шестисотячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы:

• 8 из его вершин имели координаты $(\pm 2;0;0;0),$ $(0;\pm 2;0;0),$ $(0;0;\pm 2;0),$ $(0;0;0;\pm 2)$ (эти вершины расположены так же, как вершины шестнадцатиячейника);

• ещё 16 вершин — координаты $(\pm 1;\pm 1;\pm 1;\pm 1)$ (они расположены так же, как вершины тессеракта; кроме того, вместе с 8 предыдущими они дают вершины двадцатичетырёхячейника);

• координаты остальных 96 вершин были всевозможными чётными перестановками чисел $(\pm \mathrm{\Phi };\pm 1;\pm {\mathrm{\Phi }}^{-1};0),$ где $\mathrm{\Phi }=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ — отношение золотого сечения (эти вершины расположены так же, как вершины курносого двадцатичетырёхъячейника).

Начало координат $(0;0;0;0)$ будет центром симметрии многоячейника, а также центром его вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если шестисотячейник имеет ребро длины $a,$ то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

$V_4=\frac{25}{4}(2+\sqrt{5})a^4\approx 26,4754249a^4,$

$S_3=50\sqrt{2}{a}^3\approx 70,7106781a^3.$

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

$R=\mathrm{\Phi }a=\frac{1}{2}(1+\sqrt{5})a\approx 1,6180340a,$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\rho }_1=\frac{1}{2}\sqrt{5+2\sqrt{5}}a\approx 1,5388418a,$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\rho }_2=\frac{1}{6}(\sqrt{15}+3\sqrt{3})a\approx 1,5115226a,$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

$r=\frac{1}{4}(\sqrt{10}+2\sqrt{2})a\approx 1,4976762a.$

Ссылки

• Шаблон:Mathworld